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【摘 要】针对乘法分配律教学中学生经常出现的错误进行的教学改进，从形象的“分苹果”开始进行“分配”的感知，再从乘法意义入手，而后层层展开教学，在帮助学生建构起乘法分配律的固有模式，在理解意义的基础上真正掌握乘法分配律，并能加以正确运用。并不能说这样的教学改进一定适合每一个学生，但至少“着眼于让学生对乘法分配律进行意义理解”开展教学改进，从学生本位出发，相信学生会比较容易接受。
【关键词】感知；算理；乘法分配律；改进
四年级学生在学习了乘法分配律之后，常常会出现以下三种错误情况：
（1）（80+4）×25=80×25+4
（2）7×48+7×52=7×（48×52）
（3）25×（4×8）=25×4+25×8
错误原因——学生是怎么想的？
面对这样的错误，学生是怎么思考的呢？我们对这些出错的学生进行了原因访谈。
错误一：（80+4）×25=80×25+4
师：你是怎么思考的？
生：我先把80和25相乘，再加上4。25已与80相乘了，为何还要与4相乘，怎么可以同一个数重复使用两次呢？
师：你这样算的话，有括号和没括号的算法都一样了啊？
生：哦，应该先算括号里的加法，变成84，然后是84×25的……
错误二：7×48+7×52=7×（48×52）
师：你是怎么思考的？中间的加号去哪了呢？
生：我把这个和乘法结合律混在一起了，应该是7×（48+52） 的吧？
错误三：25×（4×8）=25×4+25×8
师：为什么连乘的式子会写成有加、有乘的算式呢？
生：乘法分配律不是说括号外的数要一个一个地乘进去的啊？
师：那为什么会出现加号了呢？
生：我把它写也成了乘法分配，这里应该是乘法结合律，而不是分配律……
原因分析——问题出在哪？
相信这样的错误在上完乘法分配律后，是每个老师都会碰到的情况。面对这样的错误，老师一般又要用几节课的时间进行正面强化训练，不停地全班讲解、个别修正，花很多的力气才能使将这些错误消灭。就算是到了期末的的复习阶段，还是有不少同学会重复这样的错误。但我们也发现，在上完乘法结合律时，学生出错的情况还是比较少的，为什么乘法分配律一学，错误就层出不穷了呢？这使我们很纳闷：问题到底出在哪呢？有的老师说是出错的学生接受能力太差，这么简单的形式只要记住乘法分配律的公式去套用就可以了。可我们教了好几批学生，但每次都会出现同样的错误，原因是不是在我们老师或教材身上呢？
我们又和四年级的数学教师进行了交流，他们都有这样的感觉：这个知识点由于学生没有足够的生活经验及相关认识，其运用又变化多端，再加上前面学习了乘法结合律，所以乘法分配律即使上了，学生并没有真正理解其中的内涵，只是在“照样子画葫芦”，聪明的学生就是将学过的公式熟练套用。但是课后或者过了一段时间后，学生对这个知识点的遗忘速度更是非常快。特别对于数学基础较差的学生，虽然是硬记了各种类型的解答方法，但不能从真正意义上去理解，所以每次还是会把这些解答方式给混淆起来，错误百出。
我们又查阅了几个版本教材对这一内容的编排特点，发现人教版、北师大版的教材都是强调从问题情境列出算式入手，发现两边的算式结果是相等的，而且在教材中举出了这样的例子，又让学生依照教材给出的例子自己写类似的算式，感觉是让学生在“模仿”着写算式中来得出乘法分配律是（a+b）×c=a×b+a×c，我们很多老师的教学程序也是按照教材的编排意图进行设计。
一、教学改进——从形象感知出发
乘法的意义对于学生并不陌生，如果整节课围绕乘法的意义展开乘法分配律的教学，学生就能学习得比较深入。不仅可以掌握它的外形结构，而且较好地理解它的意义内涵，从而真正地理解乘法分配律，大大提升学生的对乘法分配律的认识水平，又符合学生的认知特点，取得理想的教学效果。为此，我们是否可以分这样几个环节进行：1、从乘法算式中一个因数的分解与展开出发，让学生在乘法中感受分配律的意义，为了帮助学生更好地进行分解，我们先把另一个因数用形象的物品（苹果）来取代，这样就降低了理解的难度，使学生更容易接受分配；2、当学生在经历了分苹果的过程后，教师把学生分的过程在黑板上一一板书，这时候就可以进一步提出要求，让学生进行拓展思考：除了分苹果，你还能举出哪些例子吗？我们能用数学上的一些符号或者数字来代替这些苹果吗？3、从“分配”开始到“意义”理解，基本为学生建构乘法分配律的格式，再通过“苹果去哪了”的游戏，让学生理解“相同数”，从而引导学生得出乘法分配律的字母公式；4、在理解乘法分配律的定义后，进行相应的练习，以帮助学生巩固新知；5、让学生在经历乘法分配律的获取过程后，在小结中提升揭示这种数学的思考方法，利用数学规律学习过程中较好地渗透数学思想方法的学习，同时让学生对不完全归纳法有个初步的理解和应用。
二、从“分苹果”引出的乘法分配律教学改进设计
（一）我来分苹果——感知“分配”
课件出示：妈妈买来15个苹果，想分给芳芳和她的弟弟，如果你是芳芳，你会怎么分？
（降低要求，从生活中的分配引入，让学生畅开心说想法，在拉近与学生的距离的同时感受数学中的分配。）
根据学生的交流进行板书，并适时进行思想教育：15个苹果=10个苹果+5个苹果；15个苹果=7个苹果+8个苹果；15个苹果=9个苹果+6个苹果……
2、“分苹果”后的延伸——理解“从物到形，从形到数”
观察老师在黑板上写的算式，除了分苹果，我们还可以对哪些物品进行分配呢？请你来说一说。（“分苹果”后再请学生说说其他物品的分法，是对“分配”的再次强化和感知。）那么，除了刚才生活物品的分配，你还能用我们学过的数学知识来接着举例吗？可以在自己的草稿纸上写一写。反馈交流：有用字母表示的、有用图形表示的……用图形表示：32个□=12个□+20个□（还会有其他一些图形）用字母表示：100个A=53个A+47个A（还会有其他一些字母）刚才我们用字母和图形替代了“苹果”，那么如果替换成数字，你能写出这样的算式吗？ 用数字表示：80个6=45个6+34个6。利用乘法的意义，可以引导学生把算式写成80×6=45×6+35×6。追问：80×6中的80是怎么得到的？引出80=46+34，进而转变为（46+34）×6=46×6+54×6告诉学生，我们是把80进行分配，分成了46+34，还可以把80分解成另外两个数相加的和吗？引导学生把80分成30和50、18和62等等。从而展开得出形如：（45+35）×6 =45×6+35×6等等式，并告诉学生像这样表示左右两边相等的式子叫等式。这样的等式你也能写一写吗？试着在自己的纸上写一写。（到这里，从“分配”开始到“意义”理解，基本为学生建构了乘法分配律的格式。）
3、苹果到哪去了——学会找相同数
把学生写的一些等式在黑板上加以呈现，并观察上面的等式，有没有发现什么相同的规律？（让学生自由和同桌说说自己的发现，学生交流后，教师不用急于让学生反馈，而是让大家一起来做游戏，在游戏中让学生学会找到相同数。）
游戏：苹果躲到哪里去了？（课件出示）
97×78+3×78=（97+3）×78
89×55+6×55=（89+6）×55
……
怎么才能很快地找到苹果呢？苹果其实就躲在算式中的几个相同数后面。
小结得到：找到算式中的几个相同数，就能很快找到苹果，所以学会找相同数很重要！
4、公式理解——理清算理
教师引导学生一起把黑板上的这些算式改写成字母公式，得到乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c
并引导学生进一步理解：这个字母表达式能代表所有算式吗？我们看，“a+b”在这里表示苹果的个数（相同数的个数），“c” 在这里表示苹果（相同数）（揭示课题）这样把左边的算式改写成右边算式的过程这就是我们今天要学的乘法分配律。两个数的和与一个数相乘可以先把它们分别与这个数相乘再相加，这叫做乘法分配律。让学生对照书上的概括，进一步加深对乘法分配律的了解，谁能说说“分配”是什么意思，它是怎么分配的？（让学生理解分配是表面，实质是分解与合并。）同时，通过读读定义和字母公式，让学生说说两者间喜欢用哪一种，从而体会字母表示的简洁、明了，告知这就是数学的美。
5、课堂小结——提升认识
今天我们学习了乘法的另一种规律，乘法分配律，你觉得我们是怎样得出乘法分配建的？请同学和大家分享一下你今天这节课的收获。
（在学生回忆获得乘法分配律的过程中点破不完全归纳法提升认识。）
【关键词】感知；算理；乘法分配律；改进
四年级学生在学习了乘法分配律之后，常常会出现以下三种错误情况：
（1）（80+4）×25=80×25+4
（2）7×48+7×52=7×（48×52）
（3）25×（4×8）=25×4+25×8
错误原因——学生是怎么想的？
面对这样的错误，学生是怎么思考的呢？我们对这些出错的学生进行了原因访谈。
错误一：（80+4）×25=80×25+4
师：你是怎么思考的？
生：我先把80和25相乘，再加上4。25已与80相乘了，为何还要与4相乘，怎么可以同一个数重复使用两次呢？
师：你这样算的话，有括号和没括号的算法都一样了啊？
生：哦，应该先算括号里的加法，变成84，然后是84×25的……
错误二：7×48+7×52=7×（48×52）
师：你是怎么思考的？中间的加号去哪了呢？
生：我把这个和乘法结合律混在一起了，应该是7×（48+52） 的吧？
错误三：25×（4×8）=25×4+25×8
师：为什么连乘的式子会写成有加、有乘的算式呢？
生：乘法分配律不是说括号外的数要一个一个地乘进去的啊？
师：那为什么会出现加号了呢？
生：我把它写也成了乘法分配，这里应该是乘法结合律，而不是分配律……
原因分析——问题出在哪？
相信这样的错误在上完乘法分配律后，是每个老师都会碰到的情况。面对这样的错误，老师一般又要用几节课的时间进行正面强化训练，不停地全班讲解、个别修正，花很多的力气才能使将这些错误消灭。就算是到了期末的的复习阶段，还是有不少同学会重复这样的错误。但我们也发现，在上完乘法结合律时，学生出错的情况还是比较少的，为什么乘法分配律一学，错误就层出不穷了呢？这使我们很纳闷：问题到底出在哪呢？有的老师说是出错的学生接受能力太差，这么简单的形式只要记住乘法分配律的公式去套用就可以了。可我们教了好几批学生，但每次都会出现同样的错误，原因是不是在我们老师或教材身上呢？
我们又和四年级的数学教师进行了交流，他们都有这样的感觉：这个知识点由于学生没有足够的生活经验及相关认识，其运用又变化多端，再加上前面学习了乘法结合律，所以乘法分配律即使上了，学生并没有真正理解其中的内涵，只是在“照样子画葫芦”，聪明的学生就是将学过的公式熟练套用。但是课后或者过了一段时间后，学生对这个知识点的遗忘速度更是非常快。特别对于数学基础较差的学生，虽然是硬记了各种类型的解答方法，但不能从真正意义上去理解，所以每次还是会把这些解答方式给混淆起来，错误百出。
我们又查阅了几个版本教材对这一内容的编排特点，发现人教版、北师大版的教材都是强调从问题情境列出算式入手，发现两边的算式结果是相等的，而且在教材中举出了这样的例子，又让学生依照教材给出的例子自己写类似的算式，感觉是让学生在“模仿”着写算式中来得出乘法分配律是（a+b）×c=a×b+a×c，我们很多老师的教学程序也是按照教材的编排意图进行设计。
一、教学改进——从形象感知出发
乘法的意义对于学生并不陌生，如果整节课围绕乘法的意义展开乘法分配律的教学，学生就能学习得比较深入。不仅可以掌握它的外形结构，而且较好地理解它的意义内涵，从而真正地理解乘法分配律，大大提升学生的对乘法分配律的认识水平，又符合学生的认知特点，取得理想的教学效果。为此，我们是否可以分这样几个环节进行：1、从乘法算式中一个因数的分解与展开出发，让学生在乘法中感受分配律的意义，为了帮助学生更好地进行分解，我们先把另一个因数用形象的物品（苹果）来取代，这样就降低了理解的难度，使学生更容易接受分配；2、当学生在经历了分苹果的过程后，教师把学生分的过程在黑板上一一板书，这时候就可以进一步提出要求，让学生进行拓展思考：除了分苹果，你还能举出哪些例子吗？我们能用数学上的一些符号或者数字来代替这些苹果吗？3、从“分配”开始到“意义”理解，基本为学生建构乘法分配律的格式，再通过“苹果去哪了”的游戏，让学生理解“相同数”，从而引导学生得出乘法分配律的字母公式；4、在理解乘法分配律的定义后，进行相应的练习，以帮助学生巩固新知；5、让学生在经历乘法分配律的获取过程后，在小结中提升揭示这种数学的思考方法，利用数学规律学习过程中较好地渗透数学思想方法的学习，同时让学生对不完全归纳法有个初步的理解和应用。
二、从“分苹果”引出的乘法分配律教学改进设计
（一）我来分苹果——感知“分配”
课件出示：妈妈买来15个苹果，想分给芳芳和她的弟弟，如果你是芳芳，你会怎么分？
（降低要求，从生活中的分配引入，让学生畅开心说想法，在拉近与学生的距离的同时感受数学中的分配。）
根据学生的交流进行板书，并适时进行思想教育：15个苹果=10个苹果+5个苹果；15个苹果=7个苹果+8个苹果；15个苹果=9个苹果+6个苹果……
2、“分苹果”后的延伸——理解“从物到形，从形到数”
观察老师在黑板上写的算式，除了分苹果，我们还可以对哪些物品进行分配呢？请你来说一说。（“分苹果”后再请学生说说其他物品的分法，是对“分配”的再次强化和感知。）那么，除了刚才生活物品的分配，你还能用我们学过的数学知识来接着举例吗？可以在自己的草稿纸上写一写。反馈交流：有用字母表示的、有用图形表示的……用图形表示：32个□=12个□+20个□（还会有其他一些图形）用字母表示：100个A=53个A+47个A（还会有其他一些字母）刚才我们用字母和图形替代了“苹果”，那么如果替换成数字，你能写出这样的算式吗？ 用数字表示：80个6=45个6+34个6。利用乘法的意义，可以引导学生把算式写成80×6=45×6+35×6。追问：80×6中的80是怎么得到的？引出80=46+34，进而转变为（46+34）×6=46×6+54×6告诉学生，我们是把80进行分配，分成了46+34，还可以把80分解成另外两个数相加的和吗？引导学生把80分成30和50、18和62等等。从而展开得出形如：（45+35）×6 =45×6+35×6等等式，并告诉学生像这样表示左右两边相等的式子叫等式。这样的等式你也能写一写吗？试着在自己的纸上写一写。（到这里，从“分配”开始到“意义”理解，基本为学生建构了乘法分配律的格式。）
3、苹果到哪去了——学会找相同数
把学生写的一些等式在黑板上加以呈现，并观察上面的等式，有没有发现什么相同的规律？（让学生自由和同桌说说自己的发现，学生交流后，教师不用急于让学生反馈，而是让大家一起来做游戏，在游戏中让学生学会找到相同数。）
游戏：苹果躲到哪里去了？（课件出示）
97×78+3×78=（97+3）×78
89×55+6×55=（89+6）×55
……
怎么才能很快地找到苹果呢？苹果其实就躲在算式中的几个相同数后面。
小结得到：找到算式中的几个相同数，就能很快找到苹果，所以学会找相同数很重要！
4、公式理解——理清算理
教师引导学生一起把黑板上的这些算式改写成字母公式，得到乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c
并引导学生进一步理解：这个字母表达式能代表所有算式吗？我们看，“a+b”在这里表示苹果的个数（相同数的个数），“c” 在这里表示苹果（相同数）（揭示课题）这样把左边的算式改写成右边算式的过程这就是我们今天要学的乘法分配律。两个数的和与一个数相乘可以先把它们分别与这个数相乘再相加，这叫做乘法分配律。让学生对照书上的概括，进一步加深对乘法分配律的了解，谁能说说“分配”是什么意思，它是怎么分配的？（让学生理解分配是表面，实质是分解与合并。）同时，通过读读定义和字母公式，让学生说说两者间喜欢用哪一种，从而体会字母表示的简洁、明了，告知这就是数学的美。
5、课堂小结——提升认识
今天我们学习了乘法的另一种规律，乘法分配律，你觉得我们是怎样得出乘法分配建的？请同学和大家分享一下你今天这节课的收获。
（在学生回忆获得乘法分配律的过程中点破不完全归纳法提升认识。）