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反比例函数是初中数学的基础知识，也是历年中考的热点问题之一.近年来，命题者勇于创新，设计出许多新颖开放、体现新课程理念的创新型试题，现举例如下.
一、开放题型
概念解读：开放题型是指那些条件不完整、结论不确定、解法不限制的数学问题.它的显著特点是正确答案不唯一，常见的题型有：条件开放与探索、结论开放与探索 、解题方法的开放与探索等.
例1 （2015湖南益阳）已知y是x的反比例函数，当x>0时，y随x的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式 .
分析：对于反比例函数y=（k≠0）的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k<0；反之，只要k>0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
解：只要使反比例系数大于0即可.
如y=（x>0），答案不唯一.
故答案为：y=（x>0），答案不唯一.
点评：由于开放型试题答案的多样性和多层性，因此对训练同学们思维的灵活性和发散性有较好的作用.本题着重考查同学们的逆向思维能力和发散思维能力.
二、判断说理题型
概念解读：判断说理题是中考新题型中探索型问题的主要形式，它要求同学们紧扣题设条件，对“是否存在”作出判断，并进行正确的推理.
例2 （2015辽宁大连）如圖1，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OB=2，双曲线y=经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上.若AB的对应线段CB恰好经过点O.
（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；
（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由.
图1
分析：（1）先求得△BOD是等边三角形，即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线的解析式；
（2）求得OB=OC，即可求得C的坐标，根据C的坐标即可判定点C是否在双曲线上.
解：（1）∵AB∥x轴，∴∠ABO=∠BOD，
∵∠ABO=∠CBD，∴∠BOD=∠OBD，
∵OB=BD，∴∠BOD=∠BDO，
∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD=60°，
∴B（1，）；
∵双曲线y=经过点B，
∴k=1×=.
∴双曲线的解析式为y=.
（2）∵∠ABO=60°，∠AOB=90°，
∴∠A=30°，∴AB=2OB，
∵AB=BC，∴BC=2OB，∴OC=OB，
∴C（-1，-），
∵-1×（-）=，
∴点C在双曲线上.
点评：这是一道判断说理型试题，用待定系数法求反比例函数关系式是解题的关键.求反比例函数关系式的方法有多种，要灵活运用.
三、新定义题型
概念解读：所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、运算、符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.
例3 （2015广东茂名）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（-2，-4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个.
（1）若点M（2，a）是反比例函数y=（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数y=3mx-1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由.
分析：（1）根据“理想点”，确定a的值，即可确定M点的坐标，代入反比例函数解析式，即可解答；
（2）假设函数y=3mx-1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），则有3mx-1=2x，整理得：（3m-2）x=1，分两种情况讨论：当3m-2≠0，即m≠时，解得：x=；当3m-2=0，即m=时，x无解，即可解答.
解：∵点M（2，a）是反比例函数y=（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，
∴a=4，
∵点M（2，4）在反比例函数y=（k为常数，k≠0）图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=.
（2）假设函数y=3mx-1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），
则有3mx-1=2x，
整理得：（3m-2）x=1，
当3m-2≠0，即m≠时，
解得：x=，
当3m-2=0，即m=时，x无解，
综上所述，当m≠时，函数图象上存在“理想点”，为（，）；
当m=时，函数图象上不存在“理想点”.
点评：本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，解答本题的关键是理解“理想点”的定义，确定点的坐标.
四、探索猜想规律题型
概念解读：探索猜想规律型试题是近年来的一种新题型.解答这类试题需要发挥空间想象力，找出规律，然后再利用所学知识进行分析、推理、验证.
例4 （2015湖南邵阳）如图2，已知直线y=x+k和双曲线y=（k为正整数）交于A、B两点.
（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；
（2）当k=2时，求△AOB的面积；
（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1；当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为Sn，若S1+S2+…+Sn=，求n的值.
图2
分析：（1）由k=1得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先由k=2得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；再求出直线AB的解析式，得到直线AB与y轴的交点（0，2），利用三角形的面积公式，即可解答.
（3）根据当k=1时，S1=×1×（1+2）=，当k=2时，S2=×2×（1+3）=4，…得到当k=n时，Sn=n（1+n+1）=n2+n，根据若S1+S2+…+ Sn=，列出等式，即可解答.
解：（1）当k=1时，直线y=x+k和双曲线y=化为：y=x+1和y=，
解y=x+1y=得x=-2y=-1，x=1y=2，
∴A（1，2），B（-2，-1），
（2）当k=2时，直线y=x+k和双曲线y=化为：y=x+2和y=，
解y=x+2y=得x=-3y=-1，x=1y=3，
∴A（1，3），B（-3，-1）
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
∴3=m+n-1=-3m+n
∴m=1n=2，
∴直线AB的解析式为：y=x+2，
∴直线AB与y轴的交点为（0，2），
∴S△AOB=×2×1+×2×3=4；
（3）当k=1时，S1=×1×（1+2）=，
当k=2时，S2=×2×（1+3）=4，
…
当k=n时，Sn=n（1+n+1）=n2+n，
∵S1+S2+…+Sn=，
∴×（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…n）=，
整理得：
×+=，
解得：n=6.
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答本题的关键是联立函数解析式，组成方程组，求交点坐标.在（3）中注意找出三角形面积的规律是关键.
一、开放题型
概念解读：开放题型是指那些条件不完整、结论不确定、解法不限制的数学问题.它的显著特点是正确答案不唯一，常见的题型有：条件开放与探索、结论开放与探索 、解题方法的开放与探索等.
例1 （2015湖南益阳）已知y是x的反比例函数，当x>0时，y随x的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式 .
分析：对于反比例函数y=（k≠0）的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k<0；反之，只要k>0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
解：只要使反比例系数大于0即可.
如y=（x>0），答案不唯一.
故答案为：y=（x>0），答案不唯一.
点评：由于开放型试题答案的多样性和多层性，因此对训练同学们思维的灵活性和发散性有较好的作用.本题着重考查同学们的逆向思维能力和发散思维能力.
二、判断说理题型
概念解读：判断说理题是中考新题型中探索型问题的主要形式，它要求同学们紧扣题设条件，对“是否存在”作出判断，并进行正确的推理.
例2 （2015辽宁大连）如圖1，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OB=2，双曲线y=经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上.若AB的对应线段CB恰好经过点O.
（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；
（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由.
图1
分析：（1）先求得△BOD是等边三角形，即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线的解析式；
（2）求得OB=OC，即可求得C的坐标，根据C的坐标即可判定点C是否在双曲线上.
解：（1）∵AB∥x轴，∴∠ABO=∠BOD，
∵∠ABO=∠CBD，∴∠BOD=∠OBD，
∵OB=BD，∴∠BOD=∠BDO，
∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD=60°，
∴B（1，）；
∵双曲线y=经过点B，
∴k=1×=.
∴双曲线的解析式为y=.
（2）∵∠ABO=60°，∠AOB=90°，
∴∠A=30°，∴AB=2OB，
∵AB=BC，∴BC=2OB，∴OC=OB，
∴C（-1，-），
∵-1×（-）=，
∴点C在双曲线上.
点评：这是一道判断说理型试题，用待定系数法求反比例函数关系式是解题的关键.求反比例函数关系式的方法有多种，要灵活运用.
三、新定义题型
概念解读：所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、运算、符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.
例3 （2015广东茂名）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（-2，-4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个.
（1）若点M（2，a）是反比例函数y=（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数y=3mx-1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由.
分析：（1）根据“理想点”，确定a的值，即可确定M点的坐标，代入反比例函数解析式，即可解答；
（2）假设函数y=3mx-1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），则有3mx-1=2x，整理得：（3m-2）x=1，分两种情况讨论：当3m-2≠0，即m≠时，解得：x=；当3m-2=0，即m=时，x无解，即可解答.
解：∵点M（2，a）是反比例函数y=（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，
∴a=4，
∵点M（2，4）在反比例函数y=（k为常数，k≠0）图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=.
（2）假设函数y=3mx-1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），
则有3mx-1=2x，
整理得：（3m-2）x=1，
当3m-2≠0，即m≠时，
解得：x=，
当3m-2=0，即m=时，x无解，
综上所述，当m≠时，函数图象上存在“理想点”，为（，）；
当m=时，函数图象上不存在“理想点”.
点评：本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，解答本题的关键是理解“理想点”的定义，确定点的坐标.
四、探索猜想规律题型
概念解读：探索猜想规律型试题是近年来的一种新题型.解答这类试题需要发挥空间想象力，找出规律，然后再利用所学知识进行分析、推理、验证.
例4 （2015湖南邵阳）如图2，已知直线y=x+k和双曲线y=（k为正整数）交于A、B两点.
（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；
（2）当k=2时，求△AOB的面积；
（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1；当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为Sn，若S1+S2+…+Sn=，求n的值.
图2
分析：（1）由k=1得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先由k=2得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；再求出直线AB的解析式，得到直线AB与y轴的交点（0，2），利用三角形的面积公式，即可解答.
（3）根据当k=1时，S1=×1×（1+2）=，当k=2时，S2=×2×（1+3）=4，…得到当k=n时，Sn=n（1+n+1）=n2+n，根据若S1+S2+…+ Sn=，列出等式，即可解答.
解：（1）当k=1时，直线y=x+k和双曲线y=化为：y=x+1和y=，
解y=x+1y=得x=-2y=-1，x=1y=2，
∴A（1，2），B（-2，-1），
（2）当k=2时，直线y=x+k和双曲线y=化为：y=x+2和y=，
解y=x+2y=得x=-3y=-1，x=1y=3，
∴A（1，3），B（-3，-1）
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
∴3=m+n-1=-3m+n
∴m=1n=2，
∴直线AB的解析式为：y=x+2，
∴直线AB与y轴的交点为（0，2），
∴S△AOB=×2×1+×2×3=4；
（3）当k=1时，S1=×1×（1+2）=，
当k=2时，S2=×2×（1+3）=4，
…
当k=n时，Sn=n（1+n+1）=n2+n，
∵S1+S2+…+Sn=，
∴×（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…n）=，
整理得：
×+=，
解得：n=6.
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答本题的关键是联立函数解析式，组成方程组，求交点坐标.在（3）中注意找出三角形面积的规律是关键.