最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各个知识板块.学生在学到“均值不等式的应用”时，常感觉到“均值不等式a b2≥ab（a>0，b>0，当且仅当a=b时等号成立）”这一知识极易理解，但在解题过程中却往往不知道如何运用.在教学中，我整理了均值不等式求最值的解法，以解除学生的学习困惑.
　　一、负化正
　　在运用均值不等式的时候首先要注意a>0，b>0的条件（即一正）.如下题型，当正数条件不满足时，可以将负数化为正数，产生满足要求的条件.
　　【例1】求f（x）=4x 9x（x<0）的最大值.
　　解：∵x<0，∴-x>0∴f（x）=-4（-x） （-9-x）=-[（-4x） （-9x）]
　　∵（-4x） （-9x）≥12，∴f（x）≤-12
　　当且仅当4（-x）=-9x，即x=-32时，f（x）等号成立，取最大值为-12.
　　二、构造法
　　1.配系数
　　【例2】当0　　解：y=x（8-2x）=12×2x（8-2x）≤12×[2x （8-2x）2]2=8.当且仅当2x=8-2x且0　　2.添加项
　　【例3】求f（a）=4a-3 a（a>3）的最小值.
　　解：∵a>3，∴a-3>0，∴f（a）=4a-3 （a-3） 3≥24a-3×（a-3） 3=7.当且仅当4a-3=a-3且a>3，即a=5时，等号成立.f（a）有最小值为7.
　　3.拆分项
　　【例4】求f（x）=x2 2x2 1的最小值.
　　解：f（x）=x2 2x2 1=x2 1 1x2 1=x2 1 1x2 1≥2.当且仅当x2 1=1x2 1，即x=0时，等号成立.f（x）取最小值为2.
　　三、给条件的最值问题的解法
　　上面的方法针对的是给式子直接求取最值的题型，还有一类题型是给条件的最值问题，此类题型的解法颇多，在此我们主要运用均值不等式法，归纳为以下几类.
　　1.条件式子与所求式子相乘
　　【例5】已知正数x、y满足8x 1y=1，求x 2y的最小值.
　　解：x 2y=（8x 1y）（x 2y）=10 xy 16yx≥10 2xy·16yx=18，
　　当且仅当8x 1y=1
　　xy=16yx，即x=12，y=3时等号成立，故此函数最小值是18.
　　2.条件式子直接生成所求式子
　　【例6】若x>0，y>0，且2x 8y=1，则xy有最值为.
　　解析：1=2x 8y≥216xy16xy≤12xy≥64，
　　当且仅当2x=8y且2x 8y=1，即x=4，y=16时，等号成立.所以xy有最小值为64.
　　3.重新构造条件式子
　　【例7】如x>0，y>0，且2x 8y-xy=0，则x y的最小值为.
　　分析：2x 8y-xy=016=（x-8）（y-2）≤[（x-8） （y-2）2]2
　　16≤（x y-102）264≤（x y-10）2x y≥18
　　当且仅当x-8=y-2，
　　2x 8y-xy=0，
　　x>0，y>0即x=12，y=6时，等号成立.
　　所以x y有最小值为18.
　　总之，用均值不等式求最值的方法是可以掌握的，但是应用时要牢记：“一正”：各项或各因式必须为正数；“二定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”；“三等”：要保证在所给条件下等号能成立，若等号不成立，求出的也不是最值.
　　（责任编辑黄春香）