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【中国分类法】G633.6
高中数学课程的总目标是:......理解基本的数学概念、数学结论的本质,......。发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。
数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型,其特殊性体现在它是定义在正整数集上的函数,图像在直角坐标系呈现为一些离散的点,其他的性质和特征和函数相似,如单调性、对称性、周期性等。本文从等差数列的固有特征出发,用初等函数的基础知识探索和揭示等差数列的一些特殊性质,旨在新课程教学实践中,引导学习者注重数学思考,善于探究发现,培养创新意识,提升数学素养等方面做一些抛砖引玉的探索。
一、等差数列的通项
【定义1】数列 中,从第二项起,每一项与前一项的差为同一个常数,则称数列 为等差数列,常数为等差数列的公差,通常用d表示.
【推理1】有定义可知
, , ,...... , ,以上各式相加,得到
..........(1)
由(1)可知, 是关于n的线性函数关系。
【性质1】数列 为等差数列的充要条件是
【性质2】数列 为等差数列,则
【性质2几何意义】点 均在直线 上(其实质就是直线 的斜率就是 ).
【定理1】设 ,取 ,若 ,
则
【性质3】在等差数列 中,若 ,则 (特别是当 时,称 的等差中项).
【性质3几何意义】直角梯形KLL’K’和MNN’M’有相同的中位线PQ(如图1)。
【定理2】设 ,则 。
【性质4】在等差数列 ,公差为d,定义:
, ,
则有
二、等差数列的前n项和
【定义2】等差数列 中,设 ,则称 为数列 .
【推理2】由【定义2】可知, ,则
【性质5】数列{an}为等差数列的充要条件是
【推论】数列{an}为等差数列的充要条件是
【性质6】若数列{an}为等差数列,则有 .
【性质6几何意义】在等差数列{an}中,点 均在直线 上(其中直线 的斜率 ).
三、例题解析
【例题1】在等差数列{an}中,
解:由题意可知,点A(p,q)和B(q,p)关于直线 对称,故AB所在直线的斜率为-1,则有
【性质7】在等差数列{an}中,若
【例2】在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若
解:由【性质6】可知,
由(6)得到
由(7)得到
【性质8】在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若
【例题3】在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,求证:
证明:由【性质4】可知
所以 ,即得 .
【性质9】在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 .
四、思考
在数学教学实践中,教师应引导学生通过恰当、科学、有效的合作探究的学习模式,以数学基础知识为工具,充分发挥学生的非智力因素的潜力,见仁见智,集思广益,多维度、多层面去发现事物“纷繁”表象掩盖下的真实,把实际生活的真实问题数学化、模型化,分析、解决实际问题;教师应注重从数学基础理论的角度,用通俗易懂、基于教育对象认知基础的互动模式让学生体验生活中的数学,尝试用数学的眼光去观察生活,去发现事物表象下的本质,感悟平凡过后的神奇。
参考文献:
普通高中《数学课程标准》(实验》——中华人民共和国教育部
高中数学课程的总目标是:......理解基本的数学概念、数学结论的本质,......。发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。
数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型,其特殊性体现在它是定义在正整数集上的函数,图像在直角坐标系呈现为一些离散的点,其他的性质和特征和函数相似,如单调性、对称性、周期性等。本文从等差数列的固有特征出发,用初等函数的基础知识探索和揭示等差数列的一些特殊性质,旨在新课程教学实践中,引导学习者注重数学思考,善于探究发现,培养创新意识,提升数学素养等方面做一些抛砖引玉的探索。
一、等差数列的通项
【定义1】数列 中,从第二项起,每一项与前一项的差为同一个常数,则称数列 为等差数列,常数为等差数列的公差,通常用d表示.
【推理1】有定义可知
, , ,...... , ,以上各式相加,得到
..........(1)
由(1)可知, 是关于n的线性函数关系。
【性质1】数列 为等差数列的充要条件是
【性质2】数列 为等差数列,则
【性质2几何意义】点 均在直线 上(其实质就是直线 的斜率就是 ).
【定理1】设 ,取 ,若 ,
则
【性质3】在等差数列 中,若 ,则 (特别是当 时,称 的等差中项).
【性质3几何意义】直角梯形KLL’K’和MNN’M’有相同的中位线PQ(如图1)。
【定理2】设 ,则 。
【性质4】在等差数列 ,公差为d,定义:
, ,
则有
二、等差数列的前n项和
【定义2】等差数列 中,设 ,则称 为数列 .
【推理2】由【定义2】可知, ,则
【性质5】数列{an}为等差数列的充要条件是
【推论】数列{an}为等差数列的充要条件是
【性质6】若数列{an}为等差数列,则有 .
【性质6几何意义】在等差数列{an}中,点 均在直线 上(其中直线 的斜率 ).
三、例题解析
【例题1】在等差数列{an}中,
解:由题意可知,点A(p,q)和B(q,p)关于直线 对称,故AB所在直线的斜率为-1,则有
【性质7】在等差数列{an}中,若
【例2】在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若
解:由【性质6】可知,
由(6)得到
由(7)得到
【性质8】在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若
【例题3】在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,求证:
证明:由【性质4】可知
所以 ,即得 .
【性质9】在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 .
四、思考
在数学教学实践中,教师应引导学生通过恰当、科学、有效的合作探究的学习模式,以数学基础知识为工具,充分发挥学生的非智力因素的潜力,见仁见智,集思广益,多维度、多层面去发现事物“纷繁”表象掩盖下的真实,把实际生活的真实问题数学化、模型化,分析、解决实际问题;教师应注重从数学基础理论的角度,用通俗易懂、基于教育对象认知基础的互动模式让学生体验生活中的数学,尝试用数学的眼光去观察生活,去发现事物表象下的本质,感悟平凡过后的神奇。
参考文献:
普通高中《数学课程标准》(实验》——中华人民共和国教育部