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摘要：作为低压供电系统中的组成部分之一，低压成套开关设备具有十分重要的作用。不仅要通过其实现对电能的控制与保护，还要经其来对电能进行转换以分配。当前在对低压成套开关设备进行维修时多实用计划维修的方式，即不论其是否有故障现象发生，一旦设备运行时间到达预先设定的周期就要进行停机检修。虽然这种检修方式可起到一定的效果，但是由于这种计划性的检修并未切实根据实际情况来制定，且针对性也不强，不可避免就会出现不及时维修的现象，并进而导致系统停止运行。因此若假设可对其寿命提前进行预测，并在预测结果的基础上制定出相应可行的维护与检修计划，不仅可以实现对设备的及时维修，还能避免因计划检修而带来的电力系统中断情况。本文就是在此基础上从威布尔分布理论出发，结合使用多种方法实现了对设备寿命的提前预测。
关键词：低压成套开关设备；维护检修；寿命预测；威布尔分布
引言
低压成套开关设备在经历长时间运行后不可避免会出现一些故障问题，如不能提前将故障予以解决，将或导致严重后果。因此在低压电力系统的运转过程中要做好对低压成套开关设备的日常维护与检修工作。
威布尔分布模型自出现以来已经被广泛应用于多个领域中，并且是当前最主要的寿命分布模型之一。经大量实践研究表明，威布尔分布在设备中具有极为广泛的适用性。因此为切实保障电力系统的正常运转，并降低设备的维护成本，本研究尝试引入威布尔分布模型，以实现其寿命的预测并由此制定出合理的维修计划。
一、威布尔分布模型
本研究中的威布尔分布模型主要包括三个参数，即位置参数γ，尺度参数η以及形状参数β。假设随机变量为T，当其服从于三参数的威布尔分布时，其概率密度函数f（t）的计算公式即为：
（1）
其中：γ≥0，而η、β均>0。
而累积失效概率函数F（t）的计算公式则为：
（2）
此时T的数学期望E（t）及方差Var（t）的计算公式分别为：
（3）
（4）
其中：г（·）为Gamma函数。
在上述公式中，当γ取值为0时，威布尔分布将为二参数，则此时的f（t）与F（t）的计算公式则分别为：
（5）
（6）
二、威布尔分布的参数估计方法
（一）矩估计法
假设随机变量为T，当其呈现连续型时其概率密度函数为f（t；θ1，θ2，…，θn），其中，θ1，θ2，…，θn即表示为n个待估计的参数，此时若（T1，T2，…Tn）为来自总体T的样本，则可假设总体T的前n阶矩的计算公式为： （7）
当μι存在且为θ1，θ2，…，θn的函数，其中ι=1，2，…n。样本的前n阶矩Aι的计算公式为： （8）
根据统计学的相关理论知识不得出，样本矩Aι应当按照一定的概率收敛于相应的总体矩μι。此时若令μι=Aι（9）
则可得出n个含有未知参数θ1，θ2，…，θn的方程，通过对这些方程求解可以得出：
（10）
此时将 作为θi（i=1，2，…，n）的估计值，即为矩估计法。这种方法的本质就是通过使用样本在各阶的矩来对其总体的各阶矩进行估计。相关文献中曾定义威布尔分布的总体阶矩μn的计算公式为：
（11）
样本矩的n阶矩An的计算公式为：
（12）
其中ti为样本的数据取值，并且t0=0.此时若令μn=An，当n=1，2，4，时可得出：
（13）
（14）
（15）
通过以上公式即可得出三参数威布尔分布中的各个参数的估计值 。
（二）相關系数估计法
通过对上述公式（2）进行移项处理可得出：
（16）
对公式（16）取自然对数则：
（17）
此时令
ɑ=β
则可得出：Y=ɑX+b （18）
通过上述处理即可完成对威布尔模型的线性处理，并且从理论上来讲，Y与X呈现出严格的线性关系。
当假设低压成套开关设备的寿命数据分别为t1，t2，…tm，使用中位秩公式计算器经验分布函数，此时当m>20时，中位秩公式为：
（19）
而当m≤20时，其中位秩公式则为：
（20）
进而得出：
此时即可知X与Y的相关系数 的计算公式为：
（21）
即为表示X与Y之间线性相关性的具体统计数据，通常 的取值区间为（-1，1），并且两者的线性相关性随着 逐渐趋于1，其程度就越高。
由公式（21）可发现， 为γ得到函数，通过选用适宜的γ使| |得出最大值时所采用的的 即是γ的估计值。在此基础上还可进一步使用最小二乘法得出β与η的估计值。
（三）灰色估计法
将上述公式（16）进行变形处理后可得出：
（22）
整理后可得出：
（23）
此时若假设c=η ɑ= b=γ
则可得出 （24）
在灰色系统理论中，白化方程与其方程解的时间响应函数分别为
（25）
（26）
通过将公式（24）及（26）对比观察发现，两者的形式一致。因此可使用灰色GM（1，1）模型来估计威布尔分布的参数，具体方法如下：
第一，可将设备的寿命按时间先后进行数据排序，即t1，t2，…，tn。
第二，依据数量n的取值来选择适宜的中位秩公式，并计算出分布函数 。 第三，将上述函数带入公式 中，就可求解出xi（i=1，2，…，n）。
第四，在序列（ti，xi）基础上建立灰色微分方程： ，并计算得出a与u这两个未知参数的值，如下：
（27）
其中，
当求解出a与u时，则可以相应求解出威布尔分布的相关参数值， 。而 =c的可有模型的初值计算得出。
三、可靠性特征量的计算
（一）可靠度
设备的可靠度通常是指设备在约定的时间及条件下可完成预先既定功能的概率情况，在本研究中用R表示，其时间函数则记做R（t），即为可靠度函数。当设备的寿命服从威布尔分布，其故障时间使用随机变量T表示，其可靠度函数的计算公式为：
（28）
当γ=0时，二参数威布尔分布下的可靠度函数为
（29）
结合公式（2）与公式（28）即可得出R（t）=1-F（t）
通过对上述可靠度函数的公式进行研究后不难看出，设备的使用时间越长，其可靠度会逐步递减。究其原因则主要是由于随着设备被使用时间的逐渐增加，其磨损及老化程度也会增加，并进而致使其出现一些故障问题，最终致使其可靠度降低。
（二）失效率函数
设备在任一时刻t的失效率，其实就是指当设备工作到t时刻的瞬间出现失效现象的概率。因此，失效率也是时间t的函数，即失效率函数，通常用λ（t）表示。
根据公式
（30）
当两边同时处以Δt，取其趋于0时的极限值即可得出：
（31）
假设设备服从三参数的威布尔分布，则此时的λ（t）计算公式为：
（32）
当γ取值为0时，可得出二参数威布尔分布的失效率函数，其计算公式为：
（33）
由以上λ（t）的计算公式不难看出，当β<1时，随着设备使用时间的增加，其失效率呈递减趋势，这种现象较适用于设备的使用初期，因此其线性表示应为浴盆曲线的早期；而当β=1时，设备的失效率为正常值，这时即为设备的正常试用期，其线性表示应为浴盆曲线的偶然失效期；而当β>1时，随着设备使用时间的演唱，其失效率也会增加，这种现象适用于设备的后期阶段，对应表示为浴盆曲线的耗损失效期。综上可知，威布尔分布具备更加灵活的特性，并且能更加形象的描述出设备在全寿命周期中的各种变化。上述浴盆曲线及为設备的失效率曲线，如下图所示。
（三）可靠寿命
当设备的可靠度R减小到一定值，通常0≤R≤1，这一过程所需的时间就被称为R的可靠寿命，即为tR，两者之间的关系式为 （34）
当R=0.5时为设备的中位寿命，可表示为t0.5，而当R=exp（-1）时为特征寿命，表示为t0.368.R与tR之间的关系如下图
四、剩余寿命模型
当假设本研究中的设备的寿命T服从三参数威布尔分布，其概率密度函数f（t）的计算公示为：
（35）
其中：
对比公式（1）与（35）可知：
则其累计失效概率 （36）
其可靠度函数 （37）
当t=ta时，T的期望与方差分别为：
（38）
（39）
当设备处于中位寿命时， （40）
综合公式（38）～（40）而得出的方程组，进行求解即可得出设备威布尔分布的单个参数的估计值，
假设设备在t时刻时仍可以正常使用，那么从此时直至设备宣告报废的这段工作时间即可被称为设备的剩余寿命。通过使用随机变量T1表示其剩余寿命，则其分布函数则为： （41）
进一步计算可得出： （42）
而由于 （43）
（44）
则综合公式（42）～（44）可得出：
（45）
综合公式（37）与（45）即可得出设备的剩余寿命：
（46）
综上，假设设备使用时间为t，其剩余寿命Tt，则设备剩余寿命的可靠为 （47）
而剩余寿命的概率密度函数则为：
（48）。
结束语
在实际的应用过程中，工作人员即可通过使用此模型并结合设备的实际运行情况来针对制定低压成套开关设备的维修计划，不仅可以降低维修成本，还能使维修效率得到最大化提升。
参考文献
[1]蔚德申，王景芹，王丽. 低压成套开关设备的全寿命周期成本评估[J]. 燕山大学学报，2017，41（6）：539-544.
[2]王丽，王景芹，杨春稳，等. 矿用低压成套开关设备可靠性增长分析[J]. 煤炭技术，2015，34（9）：233-235.
[3]佚名. 基于智能牵引供电系统大数据平台的供电设备寿命预测研究[J]. 铁道机车车辆，2018，38（4）：75-78.
（作者单位：中国电力科学研究院有限公司）
关键词：低压成套开关设备；维护检修；寿命预测；威布尔分布
引言
低压成套开关设备在经历长时间运行后不可避免会出现一些故障问题，如不能提前将故障予以解决，将或导致严重后果。因此在低压电力系统的运转过程中要做好对低压成套开关设备的日常维护与检修工作。
威布尔分布模型自出现以来已经被广泛应用于多个领域中，并且是当前最主要的寿命分布模型之一。经大量实践研究表明，威布尔分布在设备中具有极为广泛的适用性。因此为切实保障电力系统的正常运转，并降低设备的维护成本，本研究尝试引入威布尔分布模型，以实现其寿命的预测并由此制定出合理的维修计划。
一、威布尔分布模型
本研究中的威布尔分布模型主要包括三个参数，即位置参数γ，尺度参数η以及形状参数β。假设随机变量为T，当其服从于三参数的威布尔分布时，其概率密度函数f（t）的计算公式即为：
（1）
其中：γ≥0，而η、β均>0。
而累积失效概率函数F（t）的计算公式则为：
（2）
此时T的数学期望E（t）及方差Var（t）的计算公式分别为：
（3）
（4）
其中：г（·）为Gamma函数。
在上述公式中，当γ取值为0时，威布尔分布将为二参数，则此时的f（t）与F（t）的计算公式则分别为：
（5）
（6）
二、威布尔分布的参数估计方法
（一）矩估计法
假设随机变量为T，当其呈现连续型时其概率密度函数为f（t；θ1，θ2，…，θn），其中，θ1，θ2，…，θn即表示为n个待估计的参数，此时若（T1，T2，…Tn）为来自总体T的样本，则可假设总体T的前n阶矩的计算公式为： （7）
当μι存在且为θ1，θ2，…，θn的函数，其中ι=1，2，…n。样本的前n阶矩Aι的计算公式为： （8）
根据统计学的相关理论知识不得出，样本矩Aι应当按照一定的概率收敛于相应的总体矩μι。此时若令μι=Aι（9）
则可得出n个含有未知参数θ1，θ2，…，θn的方程，通过对这些方程求解可以得出：
（10）
此时将 作为θi（i=1，2，…，n）的估计值，即为矩估计法。这种方法的本质就是通过使用样本在各阶的矩来对其总体的各阶矩进行估计。相关文献中曾定义威布尔分布的总体阶矩μn的计算公式为：
（11）
样本矩的n阶矩An的计算公式为：
（12）
其中ti为样本的数据取值，并且t0=0.此时若令μn=An，当n=1，2，4，时可得出：
（13）
（14）
（15）
通过以上公式即可得出三参数威布尔分布中的各个参数的估计值 。
（二）相關系数估计法
通过对上述公式（2）进行移项处理可得出：
（16）
对公式（16）取自然对数则：
（17）
此时令
ɑ=β
则可得出：Y=ɑX+b （18）
通过上述处理即可完成对威布尔模型的线性处理，并且从理论上来讲，Y与X呈现出严格的线性关系。
当假设低压成套开关设备的寿命数据分别为t1，t2，…tm，使用中位秩公式计算器经验分布函数，此时当m>20时，中位秩公式为：
（19）
而当m≤20时，其中位秩公式则为：
（20）
进而得出：
此时即可知X与Y的相关系数 的计算公式为：
（21）
即为表示X与Y之间线性相关性的具体统计数据，通常 的取值区间为（-1，1），并且两者的线性相关性随着 逐渐趋于1，其程度就越高。
由公式（21）可发现， 为γ得到函数，通过选用适宜的γ使| |得出最大值时所采用的的 即是γ的估计值。在此基础上还可进一步使用最小二乘法得出β与η的估计值。
（三）灰色估计法
将上述公式（16）进行变形处理后可得出：
（22）
整理后可得出：
（23）
此时若假设c=η ɑ= b=γ
则可得出 （24）
在灰色系统理论中，白化方程与其方程解的时间响应函数分别为
（25）
（26）
通过将公式（24）及（26）对比观察发现，两者的形式一致。因此可使用灰色GM（1，1）模型来估计威布尔分布的参数，具体方法如下：
第一，可将设备的寿命按时间先后进行数据排序，即t1，t2，…，tn。
第二，依据数量n的取值来选择适宜的中位秩公式，并计算出分布函数 。 第三，将上述函数带入公式 中，就可求解出xi（i=1，2，…，n）。
第四，在序列（ti，xi）基础上建立灰色微分方程： ，并计算得出a与u这两个未知参数的值，如下：
（27）
其中，
当求解出a与u时，则可以相应求解出威布尔分布的相关参数值， 。而 =c的可有模型的初值计算得出。
三、可靠性特征量的计算
（一）可靠度
设备的可靠度通常是指设备在约定的时间及条件下可完成预先既定功能的概率情况，在本研究中用R表示，其时间函数则记做R（t），即为可靠度函数。当设备的寿命服从威布尔分布，其故障时间使用随机变量T表示，其可靠度函数的计算公式为：
（28）
当γ=0时，二参数威布尔分布下的可靠度函数为
（29）
结合公式（2）与公式（28）即可得出R（t）=1-F（t）
通过对上述可靠度函数的公式进行研究后不难看出，设备的使用时间越长，其可靠度会逐步递减。究其原因则主要是由于随着设备被使用时间的逐渐增加，其磨损及老化程度也会增加，并进而致使其出现一些故障问题，最终致使其可靠度降低。
（二）失效率函数
设备在任一时刻t的失效率，其实就是指当设备工作到t时刻的瞬间出现失效现象的概率。因此，失效率也是时间t的函数，即失效率函数，通常用λ（t）表示。
根据公式
（30）
当两边同时处以Δt，取其趋于0时的极限值即可得出：
（31）
假设设备服从三参数的威布尔分布，则此时的λ（t）计算公式为：
（32）
当γ取值为0时，可得出二参数威布尔分布的失效率函数，其计算公式为：
（33）
由以上λ（t）的计算公式不难看出，当β<1时，随着设备使用时间的增加，其失效率呈递减趋势，这种现象较适用于设备的使用初期，因此其线性表示应为浴盆曲线的早期；而当β=1时，设备的失效率为正常值，这时即为设备的正常试用期，其线性表示应为浴盆曲线的偶然失效期；而当β>1时，随着设备使用时间的演唱，其失效率也会增加，这种现象适用于设备的后期阶段，对应表示为浴盆曲线的耗损失效期。综上可知，威布尔分布具备更加灵活的特性，并且能更加形象的描述出设备在全寿命周期中的各种变化。上述浴盆曲线及为設备的失效率曲线，如下图所示。
（三）可靠寿命
当设备的可靠度R减小到一定值，通常0≤R≤1，这一过程所需的时间就被称为R的可靠寿命，即为tR，两者之间的关系式为 （34）
当R=0.5时为设备的中位寿命，可表示为t0.5，而当R=exp（-1）时为特征寿命，表示为t0.368.R与tR之间的关系如下图
四、剩余寿命模型
当假设本研究中的设备的寿命T服从三参数威布尔分布，其概率密度函数f（t）的计算公示为：
（35）
其中：
对比公式（1）与（35）可知：
则其累计失效概率 （36）
其可靠度函数 （37）
当t=ta时，T的期望与方差分别为：
（38）
（39）
当设备处于中位寿命时， （40）
综合公式（38）～（40）而得出的方程组，进行求解即可得出设备威布尔分布的单个参数的估计值，
假设设备在t时刻时仍可以正常使用，那么从此时直至设备宣告报废的这段工作时间即可被称为设备的剩余寿命。通过使用随机变量T1表示其剩余寿命，则其分布函数则为： （41）
进一步计算可得出： （42）
而由于 （43）
（44）
则综合公式（42）～（44）可得出：
（45）
综合公式（37）与（45）即可得出设备的剩余寿命：
（46）
综上，假设设备使用时间为t，其剩余寿命Tt，则设备剩余寿命的可靠为 （47）
而剩余寿命的概率密度函数则为：
（48）。
结束语
在实际的应用过程中，工作人员即可通过使用此模型并结合设备的实际运行情况来针对制定低压成套开关设备的维修计划，不仅可以降低维修成本，还能使维修效率得到最大化提升。
参考文献
[1]蔚德申，王景芹，王丽. 低压成套开关设备的全寿命周期成本评估[J]. 燕山大学学报，2017，41（6）：539-544.
[2]王丽，王景芹，杨春稳，等. 矿用低压成套开关设备可靠性增长分析[J]. 煤炭技术，2015，34（9）：233-235.
[3]佚名. 基于智能牵引供电系统大数据平台的供电设备寿命预测研究[J]. 铁道机车车辆，2018，38（4）：75-78.
（作者单位：中国电力科学研究院有限公司）