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摘 要： 2017年福建省中考第一次全省统考，距离考试结束已经告一段落，但作为一名教育工作者，对数学试题的研究并不能止步，方可不断改善自身教学中的缺陷。笔者有幸参与市统一改卷，对其中一道几何题学生的答题情况印象深刻，引发了一系列教学的反思，现整理成文，与各位同仁分享。
关键词： 公式推导；能力培养；性质定理
一、 试题呈现
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°。
（1）若AB=4，求弧CD的长；
（2）若弧BC=弧AD，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线。
设计意图： 本题主要考查切线的判定定理，弧长公式，圆周角定理及其推论等基础的知识，考查推理能力和运算能力，考查划归与转化的思想等。本题满分8分。排在试卷中的倒数第5题，难度不高但在实际中学生的得分情况却不怎么理想，平均分过低，那么究竟问题出在哪儿呢？
二、 典型失误分析
（一） 基本公式不清晰
第（1）问正确答案应该是π，但是很多考生都写成了 π 2 。有的考生把弧长公式l= nπr 180 记成了 nπr 360 ；有的考生把半径2用成了直径4；有的考生不知道如何添加辅助线，导致找不到所求的弧长CD是哪一段；有的考生太粗心，求弧长CD却用三角函数求成了弦长CD。
分析： 学生对数学公式模糊不清，对公式的推理过程即弧长与圆心角、半径之间的关系没掌握透彻，未能结合图形画出正确的辅助线，思维定势误认为在圆中研究特殊三角形的问题都是用三角函数解决，没认真审题。
（二） 胡乱使用条件
如：因为AB是直径，所以∠BAC ∠CBA=90度，因为BC =AD ，所以∠BAC=∠PCD，∠PCD ∠CBA=90度，因为∠P=∠DCP，所以∠P ∠CBA=90度，又因为∠CBA=∠ODA，所以∠P ∠ODA=90度，因为AD=AP，所以∠P=∠ADP，所以∠ADP ∠ODA=90度，所以∠ODP=90度，PD是⊙O的切线。
分析： 第（2）问是推理证明题，考生都知道证明切线必须证出∠ODP等于90度，在证明的过程中大体有两种思路：第一，分别求出∠ODA和∠ADP的度数；第二，通过证明角的关系得到角的转化。部分采用第一种思路的考生因为粗心∠ODA=67.5度求成了77.5度，采用第二种思路的考生想当然默许条件∠P=∠DCP，或者默许∠P=∠BAC导致错误，事实上这两组角是相等的，但必须通过证明△OCA和△ADP相似或者证明三角形全等才能进行角的转化，学生缺乏逻辑推理能力，利用条件分析问题还有欠缺。
三、 教学建议
（一） 重视公式的推导过程
数学公式的形成过程其实也是几何推理的过程。但现在很多教师为了在课堂上讲更多的例题给学生模仿，还要学生提高模仿解题的速度，在上新课中遇到数学公式的问题例如：弧长公式、扇形面积公式、多边形内角和公式、三角函数公式等，对公式的推导过程不够重视，只要求学生背诵公式，实际上这是应试教育舍本逐末的错误做法。这样做产生两个严重的问题，其一误导学生认为公式的推导过程不重要，甚至觉得只要会背就行，导致对相近的数学公式模糊不清；其二逻辑思维不严密，对公式没有透彻的理解，只是看成孤立的个体，使用公式的时候机械化，缺乏知识前后联系的探究。例如这道求弧长的题目，只要学生理解弧长是圆的一部分，知道圆心角度数与弧长的关系，这样辅助线的添加就不会成为解题的障碍。因此在数学公式教学的过程中，要让学生深刻体会三个问题：第一，为什么要学习新的数学公式，用新的公式在计算上有什么便捷之处；第二，引导学生思考新公式与旧公式的联系，是新定义的公式还是派生推导出的公式，公式可以怎样推导；第三，借助图形，通过数形结合的方法便于识记公式。这样学生在得到一个新公式时，还知道如何推导，培养推理能力，也更加熟练使用数学符号，培养学生符号意识和创新能力。这样教才有助于提高学生学习的能力，从被动学习转变为主动学习。
（二） 注重推理能力的培养
在教學中，讲授数学核心知识的过程中还要重视学生数学推理能力的培养。学生推理能力的发展不是一蹴而成，是应贯穿整个数学的教学过程，从合情推理循序渐进发展成演绎推理。培养学生经历猜想、证明的探究过程，大胆地说，把思路用语言表达出来才能逐步形成严格的推理过程。
因此，试题讲解中问题串的引导要体现培养学生的核心素养，例如本题推理能力的培养可以这样做：第一，引导学生对每一个已知条件能推出的几何结论进行罗列，哪些与本题证明思路相关，哪些次相关；第二，在探究解题思路中渗透转化与化归思想，通过数形结合明确哪些角能实现转化，哪些不能；第三，板演要精练，避免学生绕弯路；第四，启发学生思考此类问题蕴含的数学思想方法和考查的知识点，加深学生的理解。
（三） 重视课本性质定理的推导
数学语言是数学交流的特殊工具，很多学生不会用数学语言演绎推理，觉得跨度太大，原因在于教师在教学中因题说题，学生缺乏数学探究的过程，尤其是书本定理的证明推导不可忽视，在课堂中真正让学生探究得到数学定理，摆脱学生“假探究”，经历必要的数学推理，学生才能清楚定理推论的前后联系，形成数学结论的发生过程，才会在几何题中进行运用。
四、 总结
综上所述，我们在几何教学过程中重视推理能力的培养，更要注重挖掘教材中的公式和定理推论的证明，引导学生思考知识的发生发展过程，形成知识体系，把零散、无规律的公式、定理用知识串紧密联系起来。
参考文献：
[1]张建华.淮安市第23题[J].中学数学教学参考：中旬，2016，（11）：50-51.
[2]康叶红.南京市第21题[J].中学数学教学参考：中旬，2016，（11）：46-47.
作者简介：
吴越，福建省漳州市第五中学。
关键词： 公式推导；能力培养；性质定理
一、 试题呈现
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°。
（1）若AB=4，求弧CD的长；
（2）若弧BC=弧AD，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线。
设计意图： 本题主要考查切线的判定定理，弧长公式，圆周角定理及其推论等基础的知识，考查推理能力和运算能力，考查划归与转化的思想等。本题满分8分。排在试卷中的倒数第5题，难度不高但在实际中学生的得分情况却不怎么理想，平均分过低，那么究竟问题出在哪儿呢？
二、 典型失误分析
（一） 基本公式不清晰
第（1）问正确答案应该是π，但是很多考生都写成了 π 2 。有的考生把弧长公式l= nπr 180 记成了 nπr 360 ；有的考生把半径2用成了直径4；有的考生不知道如何添加辅助线，导致找不到所求的弧长CD是哪一段；有的考生太粗心，求弧长CD却用三角函数求成了弦长CD。
分析： 学生对数学公式模糊不清，对公式的推理过程即弧长与圆心角、半径之间的关系没掌握透彻，未能结合图形画出正确的辅助线，思维定势误认为在圆中研究特殊三角形的问题都是用三角函数解决，没认真审题。
（二） 胡乱使用条件
如：因为AB是直径，所以∠BAC ∠CBA=90度，因为BC =AD ，所以∠BAC=∠PCD，∠PCD ∠CBA=90度，因为∠P=∠DCP，所以∠P ∠CBA=90度，又因为∠CBA=∠ODA，所以∠P ∠ODA=90度，因为AD=AP，所以∠P=∠ADP，所以∠ADP ∠ODA=90度，所以∠ODP=90度，PD是⊙O的切线。
分析： 第（2）问是推理证明题，考生都知道证明切线必须证出∠ODP等于90度，在证明的过程中大体有两种思路：第一，分别求出∠ODA和∠ADP的度数；第二，通过证明角的关系得到角的转化。部分采用第一种思路的考生因为粗心∠ODA=67.5度求成了77.5度，采用第二种思路的考生想当然默许条件∠P=∠DCP，或者默许∠P=∠BAC导致错误，事实上这两组角是相等的，但必须通过证明△OCA和△ADP相似或者证明三角形全等才能进行角的转化，学生缺乏逻辑推理能力，利用条件分析问题还有欠缺。
三、 教学建议
（一） 重视公式的推导过程
数学公式的形成过程其实也是几何推理的过程。但现在很多教师为了在课堂上讲更多的例题给学生模仿，还要学生提高模仿解题的速度，在上新课中遇到数学公式的问题例如：弧长公式、扇形面积公式、多边形内角和公式、三角函数公式等，对公式的推导过程不够重视，只要求学生背诵公式，实际上这是应试教育舍本逐末的错误做法。这样做产生两个严重的问题，其一误导学生认为公式的推导过程不重要，甚至觉得只要会背就行，导致对相近的数学公式模糊不清；其二逻辑思维不严密，对公式没有透彻的理解，只是看成孤立的个体，使用公式的时候机械化，缺乏知识前后联系的探究。例如这道求弧长的题目，只要学生理解弧长是圆的一部分，知道圆心角度数与弧长的关系，这样辅助线的添加就不会成为解题的障碍。因此在数学公式教学的过程中，要让学生深刻体会三个问题：第一，为什么要学习新的数学公式，用新的公式在计算上有什么便捷之处；第二，引导学生思考新公式与旧公式的联系，是新定义的公式还是派生推导出的公式，公式可以怎样推导；第三，借助图形，通过数形结合的方法便于识记公式。这样学生在得到一个新公式时，还知道如何推导，培养推理能力，也更加熟练使用数学符号，培养学生符号意识和创新能力。这样教才有助于提高学生学习的能力，从被动学习转变为主动学习。
（二） 注重推理能力的培养
在教學中，讲授数学核心知识的过程中还要重视学生数学推理能力的培养。学生推理能力的发展不是一蹴而成，是应贯穿整个数学的教学过程，从合情推理循序渐进发展成演绎推理。培养学生经历猜想、证明的探究过程，大胆地说，把思路用语言表达出来才能逐步形成严格的推理过程。
因此，试题讲解中问题串的引导要体现培养学生的核心素养，例如本题推理能力的培养可以这样做：第一，引导学生对每一个已知条件能推出的几何结论进行罗列，哪些与本题证明思路相关，哪些次相关；第二，在探究解题思路中渗透转化与化归思想，通过数形结合明确哪些角能实现转化，哪些不能；第三，板演要精练，避免学生绕弯路；第四，启发学生思考此类问题蕴含的数学思想方法和考查的知识点，加深学生的理解。
（三） 重视课本性质定理的推导
数学语言是数学交流的特殊工具，很多学生不会用数学语言演绎推理，觉得跨度太大，原因在于教师在教学中因题说题，学生缺乏数学探究的过程，尤其是书本定理的证明推导不可忽视，在课堂中真正让学生探究得到数学定理，摆脱学生“假探究”，经历必要的数学推理，学生才能清楚定理推论的前后联系，形成数学结论的发生过程，才会在几何题中进行运用。
四、 总结
综上所述，我们在几何教学过程中重视推理能力的培养，更要注重挖掘教材中的公式和定理推论的证明，引导学生思考知识的发生发展过程，形成知识体系，把零散、无规律的公式、定理用知识串紧密联系起来。
参考文献：
[1]张建华.淮安市第23题[J].中学数学教学参考：中旬，2016，（11）：50-51.
[2]康叶红.南京市第21题[J].中学数学教学参考：中旬，2016，（11）：46-47.
作者简介：
吴越，福建省漳州市第五中学。