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摘要：利用CE-1（嫦娥一号）星载激光高度计测得的800多万个有效激光测高数据点，首次采用自适应遗传算法拟合了一个月球三轴椭球体模型。同时基于测量的数据点得到实际月表地形图，对比了本文拟合的模型和正球体的误差。该模型得到的数据与历史之相当，由于嫦娥一號的测高数据高达800多万，得到的月球数字高程模型空间覆盖面更广。
关键词：CE-1 自适应遗传算法 三轴椭球体模型
0 引言
月球大地测量参数，如月球平均半径、月球形心与质心的偏移、月球扁率，是月球探测数据处理与科学研究中的重要数据。估计月球大地测量参数的模型有正球体、旋转椭球体、三轴椭球体曲面等。目前，研究月球半径及扁率等形状参数的方法主要有球谐函数法和椭球体拟合法。如文献[1]得到了360阶球谐函数展开月球全球地形。文献[2，5]的研究结果表明，利用球谐函数解算月球的半径和扁率等参数时，截至次数对极半径，赤道半径有不同程度的影响。所以本文选取椭球体拟合法，但是对于复杂曲面的最小二乘拟合研究较少，已有的拟合算法存在方程求解困难，有奇异值和算法不稳定等问题，如文献[6]采用最小二乘平差迭代拟合月球模型，但是迭代必须有精确的初值，否则会出现迭代不收敛。因此，需要探索采用一种新的参数辨识方法。
遗传算法是一种简单通用，鲁棒性强，适合并行处理且能克服迭代算法对初值敏感缺点的全局优化搜索算法。鉴于基本遗传算法（Standard Genetic Algorithms，SGA）在复杂的多变量优化问题时效率不高，且存在早熟的问题，本文采用了自适应遗传算法拟合月球模型。
1 CE-1激光高度计数据预处理
本文要处理的数据是CE-1（嫦娥一号）星载激光高度计测得的8.524820e+006数据点，所有数据保存在2B格式的文件中，首先需要提取测量点的经纬度和高程值信息，再结合月球的实际地形，对每个轨道的数据点进行伪高程的修正，修正突变的高程值，由于数据的连续性好，利用相邻点平均化替换伪高程数据，这样就更好的保持了数据的连续性和完整性。
2 月球三轴椭球体
所用公式：
构建三轴几何椭球体，仅要求其与月表自然地形最逼近，即满足公式（1）条件。式中，（x，y，z）为月表观测点在形心参考框架中的三维坐标，a，b，c分别为待求椭球体的三条半轴长。由于本文中使用的嫦娥一号卫星测量数据是以月球质心坐标系为参考坐标系的，而已有研究成果表明，月球的质心和形心不重合，二者存在约1.9km的偏移，因此，在公式（1）中需引入形心坐标系相对于质心坐标系的偏移量（x0，y0，z0）。对800万个测量点经过以上的数据处理部分，最后进行到球坐标到直角坐标系的变换，公式（2）中，？渍是纬度，θ是经度，ρ是高程值加上月球正球体参考模型的半径1738km，（x，y，z）为直角坐标。下一步就是对处理好的数据进行拟合，本文采用的是自适应遗传算法。
3 自适应遗传算法的过程
3.1 编码策略
由于遗传算法二进制编码用于多维、高精度数值问题优化时，不能很好地克服连续函数离散化时的映射误差；不能直接反映问题的固有结构，精度不高，而且个体长度大时、占用内存多。本文采用实数编码，精度高，搜索范围大，易于计算，符合月球拟合的高精度，高维参数估计的要求。
3.2 适应度函数
3.4 交叉变异策略
进化过程中交叉算子重要作用是产生新的个体，实现算法的全局搜索能力，Srinvas等提出的线性自适应遗传算法AGA，当个体适应度接近或等于最大适应度时，交叉变异概率接近或等于零，但是在进化初期，适应度好的个体未必是全局最优的，若其交叉变异概率为零，将加速这些个体的急速增长，引起早熟。文献[11]提出的LAGA，确保了优良个体的交叉变异率不为零，打破初期最好个体的复制，有效地降低早熟可能性。本文采用LAGA的自适应交叉变异概率模型。
L1，L2分别为基因的上界与基因值的差，基因值与基因下界的差，α，β∈ran（0，1）。
3.5 算法流程：
①设定种群规模，迭代次数，每个基因的搜索区域，以及交叉变异的初始值，在搜索区域内随机产生初始种群。
②计算所有个体的适应度值，最大适应度个体与种群目前为止的最好个体进行比较，如果比之前的最好个体适应度大，则作为目前最好的个体；如果比之前的要小，则利用目前最好的个体替换当前适应度最差个体，计算新种群的平均适应度。
③轮盘赌选择，根据选择概率选择相同种群规模的新个体。
④根据公式（1）计算交叉对的交叉概率，对交叉对的每个基因进行同概率的分别交叉，产生新的个体。
⑤根据公式（2）计算变异个体的变异概率，对每个基因进行同概率的分别变异。
⑥迭代是否结束，否，则转到（2），是，则迭代结束。
4 利用算法进行模型参数求解
对得到的高程信息进行可视化发现取值区域在[1000，2000]km之间，所以设定半轴长的搜索区域a，b，c∈[1000，2000]km，x0，y0，z0∈[-2，2]km，种群规模设为100，交叉概率为0.8，0.6，变异概率为0.1，0.05。
利用最终的处理数据作为遗传算法要拟合的数据点，设置迭代次数为500次，得到最大适应度为0.0118387
km，求得月球模型与文献[6]三轴几何椭球体模型参数比较如下表，可以看出两组数据相当，本文模型的形状。
5 与1737.4km正球体模型对比分析
计算月球表面共8.524820e+006个激光高度计的测量数据与本文椭球体模型和1737.4km正球体的平均绝对误差分别为2.09826km和2.138452km，可以得出本文的三轴椭球体相比正球体更接近月球的实际地形。下表给出的是随机选取的卫星轨道月球256、845 轨道自然地形与本文椭球体及标准正球体（1737.4km）的误差比较表，三轴椭球体在最小偏差上较正球体偏大，但是平均绝对误差小于正球体，这也表明本文的三轴椭球体更接近月球自然表面。而三轴椭球体模型的高程值变化相比正球体更符合月球实际地形变化趋势，且激光高度计的测量数据点形成的实际月球表面表明，月球全球覆盖较好，可以看到极地地区也有很大的数据覆盖面，能清楚的看到月球坑，高山等区域，很好的反映出月球的实际地形。
6 结论
本文基于嫦娥一号激光高度计测高数据，约800多万数据，首次使用自适应遗传算法拟合了月球三轴椭球体模型，得到的模型参数值与历史值相当。与1737.4km正球体进行误差比较，验证了本文模型更接近月球实际地形。通过测量值生成的月球实际表面可以看到本文使用的数据覆盖面特别广，拟合模型的准确性会更好，而且得到了较清晰的两极地形模型。
由于本文采用的自适应遗传算法存在局部收敛的缺点，计算得到的模型可能有待于进一步的修正，主要要考虑怎样使算法得到全局收敛值，获得更精确的模型，为月球探索提供较好的资料。
参考文献：
[1]平劲松，黄倩，鄢建国，等.基于嫦娥一号卫星激光测高观测的月球地形模型CLTM-s01.中国科学11（38）：1601-1612.
[2]Smith D E，Zuber M T，Neumann G A，et al.Topography of the Moon from the clementine lidar.J Geophys Res， 1997， 102（E1）：1591-1611.
[3]Rappaport N J，Plaut J J.A 360 degree and order model of Venus topography. Icarus， 1994，112：27-33.
[4]Rappaport N J，Konopliv A S，Kucinskas A B. An improved 360 degree and order model of Venus topography.Icarus，1999，139：19-31.
[5]Smith D E，Zuber M T，Solomon S C，et al.The global topography of Mars and implications for surface evolution. Science，1999，284：1495.
[6]王文睿，李斐，等.基于嫦娥一号激光测高数据的月球三轴椭球体模型.中国科学，2008，
40（8）：1022-1030.
关键词：CE-1 自适应遗传算法 三轴椭球体模型
0 引言
月球大地测量参数，如月球平均半径、月球形心与质心的偏移、月球扁率，是月球探测数据处理与科学研究中的重要数据。估计月球大地测量参数的模型有正球体、旋转椭球体、三轴椭球体曲面等。目前，研究月球半径及扁率等形状参数的方法主要有球谐函数法和椭球体拟合法。如文献[1]得到了360阶球谐函数展开月球全球地形。文献[2，5]的研究结果表明，利用球谐函数解算月球的半径和扁率等参数时，截至次数对极半径，赤道半径有不同程度的影响。所以本文选取椭球体拟合法，但是对于复杂曲面的最小二乘拟合研究较少，已有的拟合算法存在方程求解困难，有奇异值和算法不稳定等问题，如文献[6]采用最小二乘平差迭代拟合月球模型，但是迭代必须有精确的初值，否则会出现迭代不收敛。因此，需要探索采用一种新的参数辨识方法。
遗传算法是一种简单通用，鲁棒性强，适合并行处理且能克服迭代算法对初值敏感缺点的全局优化搜索算法。鉴于基本遗传算法（Standard Genetic Algorithms，SGA）在复杂的多变量优化问题时效率不高，且存在早熟的问题，本文采用了自适应遗传算法拟合月球模型。
1 CE-1激光高度计数据预处理
本文要处理的数据是CE-1（嫦娥一号）星载激光高度计测得的8.524820e+006数据点，所有数据保存在2B格式的文件中，首先需要提取测量点的经纬度和高程值信息，再结合月球的实际地形，对每个轨道的数据点进行伪高程的修正，修正突变的高程值，由于数据的连续性好，利用相邻点平均化替换伪高程数据，这样就更好的保持了数据的连续性和完整性。
2 月球三轴椭球体
所用公式：
构建三轴几何椭球体，仅要求其与月表自然地形最逼近，即满足公式（1）条件。式中，（x，y，z）为月表观测点在形心参考框架中的三维坐标，a，b，c分别为待求椭球体的三条半轴长。由于本文中使用的嫦娥一号卫星测量数据是以月球质心坐标系为参考坐标系的，而已有研究成果表明，月球的质心和形心不重合，二者存在约1.9km的偏移，因此，在公式（1）中需引入形心坐标系相对于质心坐标系的偏移量（x0，y0，z0）。对800万个测量点经过以上的数据处理部分，最后进行到球坐标到直角坐标系的变换，公式（2）中，？渍是纬度，θ是经度，ρ是高程值加上月球正球体参考模型的半径1738km，（x，y，z）为直角坐标。下一步就是对处理好的数据进行拟合，本文采用的是自适应遗传算法。
3 自适应遗传算法的过程
3.1 编码策略
由于遗传算法二进制编码用于多维、高精度数值问题优化时，不能很好地克服连续函数离散化时的映射误差；不能直接反映问题的固有结构，精度不高，而且个体长度大时、占用内存多。本文采用实数编码，精度高，搜索范围大，易于计算，符合月球拟合的高精度，高维参数估计的要求。
3.2 适应度函数
3.4 交叉变异策略
进化过程中交叉算子重要作用是产生新的个体，实现算法的全局搜索能力，Srinvas等提出的线性自适应遗传算法AGA，当个体适应度接近或等于最大适应度时，交叉变异概率接近或等于零，但是在进化初期，适应度好的个体未必是全局最优的，若其交叉变异概率为零，将加速这些个体的急速增长，引起早熟。文献[11]提出的LAGA，确保了优良个体的交叉变异率不为零，打破初期最好个体的复制，有效地降低早熟可能性。本文采用LAGA的自适应交叉变异概率模型。
L1，L2分别为基因的上界与基因值的差，基因值与基因下界的差，α，β∈ran（0，1）。
3.5 算法流程：
①设定种群规模，迭代次数，每个基因的搜索区域，以及交叉变异的初始值，在搜索区域内随机产生初始种群。
②计算所有个体的适应度值，最大适应度个体与种群目前为止的最好个体进行比较，如果比之前的最好个体适应度大，则作为目前最好的个体；如果比之前的要小，则利用目前最好的个体替换当前适应度最差个体，计算新种群的平均适应度。
③轮盘赌选择，根据选择概率选择相同种群规模的新个体。
④根据公式（1）计算交叉对的交叉概率，对交叉对的每个基因进行同概率的分别交叉，产生新的个体。
⑤根据公式（2）计算变异个体的变异概率，对每个基因进行同概率的分别变异。
⑥迭代是否结束，否，则转到（2），是，则迭代结束。
4 利用算法进行模型参数求解
对得到的高程信息进行可视化发现取值区域在[1000，2000]km之间，所以设定半轴长的搜索区域a，b，c∈[1000，2000]km，x0，y0，z0∈[-2，2]km，种群规模设为100，交叉概率为0.8，0.6，变异概率为0.1，0.05。
利用最终的处理数据作为遗传算法要拟合的数据点，设置迭代次数为500次，得到最大适应度为0.0118387
km，求得月球模型与文献[6]三轴几何椭球体模型参数比较如下表，可以看出两组数据相当，本文模型的形状。
5 与1737.4km正球体模型对比分析
计算月球表面共8.524820e+006个激光高度计的测量数据与本文椭球体模型和1737.4km正球体的平均绝对误差分别为2.09826km和2.138452km，可以得出本文的三轴椭球体相比正球体更接近月球的实际地形。下表给出的是随机选取的卫星轨道月球256、845 轨道自然地形与本文椭球体及标准正球体（1737.4km）的误差比较表，三轴椭球体在最小偏差上较正球体偏大，但是平均绝对误差小于正球体，这也表明本文的三轴椭球体更接近月球自然表面。而三轴椭球体模型的高程值变化相比正球体更符合月球实际地形变化趋势，且激光高度计的测量数据点形成的实际月球表面表明，月球全球覆盖较好，可以看到极地地区也有很大的数据覆盖面，能清楚的看到月球坑，高山等区域，很好的反映出月球的实际地形。
6 结论
本文基于嫦娥一号激光高度计测高数据，约800多万数据，首次使用自适应遗传算法拟合了月球三轴椭球体模型，得到的模型参数值与历史值相当。与1737.4km正球体进行误差比较，验证了本文模型更接近月球实际地形。通过测量值生成的月球实际表面可以看到本文使用的数据覆盖面特别广，拟合模型的准确性会更好，而且得到了较清晰的两极地形模型。
由于本文采用的自适应遗传算法存在局部收敛的缺点，计算得到的模型可能有待于进一步的修正，主要要考虑怎样使算法得到全局收敛值，获得更精确的模型，为月球探索提供较好的资料。
参考文献：
[1]平劲松，黄倩，鄢建国，等.基于嫦娥一号卫星激光测高观测的月球地形模型CLTM-s01.中国科学11（38）：1601-1612.
[2]Smith D E，Zuber M T，Neumann G A，et al.Topography of the Moon from the clementine lidar.J Geophys Res， 1997， 102（E1）：1591-1611.
[3]Rappaport N J，Plaut J J.A 360 degree and order model of Venus topography. Icarus， 1994，112：27-33.
[4]Rappaport N J，Konopliv A S，Kucinskas A B. An improved 360 degree and order model of Venus topography.Icarus，1999，139：19-31.
[5]Smith D E，Zuber M T，Solomon S C，et al.The global topography of Mars and implications for surface evolution. Science，1999，284：1495.
[6]王文睿，李斐，等.基于嫦娥一号激光测高数据的月球三轴椭球体模型.中国科学，2008，
40（8）：1022-1030.