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数学作为一门对学生逻辑思维能力和计算能力要求极高的学科,有其独特的学科思维方式。分类讨论思想作为出现率较高的思维方式,是初中数学教师的教学重点,贯穿学生数学学习的始终。笔者将结合实例,就分类讨论思想在初中数学的应用展开讨论。
结合简单实例,渗透分类讨论思想。教师应该为学生介绍分类讨论思想的概念及应用情况,以符合学生认知规律的教学模式开展教学,让学生对分类讨论思想有基础的认知和判断。
部分学生在遇到这种问题时往往焦头烂额,绞尽脑汁也很难迅速做出题目,甚至会通过基础的代值法解题,使题目复杂化,也没有跟随出题人的意图锻炼自己的数学思维。教师需要提示学生:“a和b均为代数,那么a和b就都有两种可能,要么正数要么负数,那么便可以应用分类讨论思想,分为三种情况,ab均正、ab均负、ab异号,结果自然就选A。”
联系生活实际,锻炼分类讨论思维。发展教育事业,为学生传道授业解惑的目的并不是让学生提高卷面成绩,而是让学生有效利用所学知识,以最高效的方式发现并解决生活中的实际问题,做到学以致用。因此,教师可以结合生活实际问题培养学生分类讨论的思维方式。
教师需要结合生活实际为学生呈现数学问题:“甲乙两个家庭均选择在周末到集市上购买蔬菜,发现某一蔬菜店有促销活动,具体如下。倘若购买蔬菜的质量不超过30千克,那么蔬菜价格为3元/千克;倘若购买的蔬菜的质量超过30千克但不超过50千克,那么蔬菜价格为2.5元/千克;如果购买蔬菜的质量大于50千克,那么蔬菜价格为2元/千克。现在已知甲家庭因为经费问题,不得已选择分2次购买蔬菜,一共购买了70千克蔬菜,第二次购买的蔬菜质量大于第一次,同时共付款189元,而乙家庭一次性购买70千克,请问甲家庭第一次和第二次分别购买了多少千克蔬菜?”
教师需要给予学生一定的思考时间,在激烈的小组讨论后,教师可以帮助学生分析问题:“已知甲家庭2次共购买蔬菜70千克便可以此作为出发点进行思考,假设甲家庭第一次购买蔬菜x千克,那么第二次则购买了(70-x)千克,因为第二次购买的蔬菜质量大于第一次,则得到不等式70-x>x,解得x<35。這时,问题就变成了含未知数x的实际问题,因为给定题目将购买蔬菜的情况分为3种,那么x也应分3种情况进行讨论:第1种为当0 注重积累整合,帮助学生归类题型。初中数学一共六本教材,其中涵盖了几何和代数的众多知识点,并且囊括了各种数学模型和题型,经常需要运用分类讨论思想。教师可以建议学生准备数学积累本,将应用分类讨论思想的相关题型进行整合积累。
第一类为概念产生的分类。如:“已知直角三角形的一边长为5,且一个锐角为30°,求三角形的周长。”这时学生需要跳出“勾三股四弦五”的思维定式进行分类讨论:5既可以是直角三角形的斜边,也可以是直角三角形的任何一条直角边。第二类为几何类题型的分类讨论情况。如:“已知圆O的半径为10cm,弦AB平行于CD,AB=16cm,CD=12cm,求解AB、CD之间的距离。”这道题同样需要分类讨论,根据弦的定义可知,两条弦可以在圆心的同侧,也可以在圆心的异侧,教师可以引导学生结合数形结合思想、分类讨论思想。第三类是函数类题型的分类讨论,尤其是二次函数和平行四边形、圆等知识点有机结合的题型,需要频繁地应用分类讨论思想。教师需要重点讲解,并为学生强调应用原则:分类讨论必须确定分的对象,并且以同一标准进行分类,分类情况必须是并列关系,并且最终需要检验与整合答案。
总之,分类讨论于数学学习不可或缺。教师需要在日常教学中抓住分类讨论思想的精髓,遵循其原则,引导学生用最高效、最科学的方法解决数学问题。除此之外,教师还应该根据学生的学习状况,为学生布置一些应用分类讨论思想的有难度的题目,在一定程度上锻炼学生的思维。
(作者单位系江苏省南通崇川学校)
结合简单实例,渗透分类讨论思想。教师应该为学生介绍分类讨论思想的概念及应用情况,以符合学生认知规律的教学模式开展教学,让学生对分类讨论思想有基础的认知和判断。
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部分学生在遇到这种问题时往往焦头烂额,绞尽脑汁也很难迅速做出题目,甚至会通过基础的代值法解题,使题目复杂化,也没有跟随出题人的意图锻炼自己的数学思维。教师需要提示学生:“a和b均为代数,那么a和b就都有两种可能,要么正数要么负数,那么便可以应用分类讨论思想,分为三种情况,ab均正、ab均负、ab异号,结果自然就选A。”
联系生活实际,锻炼分类讨论思维。发展教育事业,为学生传道授业解惑的目的并不是让学生提高卷面成绩,而是让学生有效利用所学知识,以最高效的方式发现并解决生活中的实际问题,做到学以致用。因此,教师可以结合生活实际问题培养学生分类讨论的思维方式。
教师需要结合生活实际为学生呈现数学问题:“甲乙两个家庭均选择在周末到集市上购买蔬菜,发现某一蔬菜店有促销活动,具体如下。倘若购买蔬菜的质量不超过30千克,那么蔬菜价格为3元/千克;倘若购买的蔬菜的质量超过30千克但不超过50千克,那么蔬菜价格为2.5元/千克;如果购买蔬菜的质量大于50千克,那么蔬菜价格为2元/千克。现在已知甲家庭因为经费问题,不得已选择分2次购买蔬菜,一共购买了70千克蔬菜,第二次购买的蔬菜质量大于第一次,同时共付款189元,而乙家庭一次性购买70千克,请问甲家庭第一次和第二次分别购买了多少千克蔬菜?”
教师需要给予学生一定的思考时间,在激烈的小组讨论后,教师可以帮助学生分析问题:“已知甲家庭2次共购买蔬菜70千克便可以此作为出发点进行思考,假设甲家庭第一次购买蔬菜x千克,那么第二次则购买了(70-x)千克,因为第二次购买的蔬菜质量大于第一次,则得到不等式70-x>x,解得x<35。這时,问题就变成了含未知数x的实际问题,因为给定题目将购买蔬菜的情况分为3种,那么x也应分3种情况进行讨论:第1种为当0
第一类为概念产生的分类。如:“已知直角三角形的一边长为5,且一个锐角为30°,求三角形的周长。”这时学生需要跳出“勾三股四弦五”的思维定式进行分类讨论:5既可以是直角三角形的斜边,也可以是直角三角形的任何一条直角边。第二类为几何类题型的分类讨论情况。如:“已知圆O的半径为10cm,弦AB平行于CD,AB=16cm,CD=12cm,求解AB、CD之间的距离。”这道题同样需要分类讨论,根据弦的定义可知,两条弦可以在圆心的同侧,也可以在圆心的异侧,教师可以引导学生结合数形结合思想、分类讨论思想。第三类是函数类题型的分类讨论,尤其是二次函数和平行四边形、圆等知识点有机结合的题型,需要频繁地应用分类讨论思想。教师需要重点讲解,并为学生强调应用原则:分类讨论必须确定分的对象,并且以同一标准进行分类,分类情况必须是并列关系,并且最终需要检验与整合答案。
总之,分类讨论于数学学习不可或缺。教师需要在日常教学中抓住分类讨论思想的精髓,遵循其原则,引导学生用最高效、最科学的方法解决数学问题。除此之外,教师还应该根据学生的学习状况,为学生布置一些应用分类讨论思想的有难度的题目,在一定程度上锻炼学生的思维。
(作者单位系江苏省南通崇川学校)