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数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁.解决数学问题经常用到多种基本数学思想，掌握这些数学思想有利于提高我们分析问题和解决问题的能力.而学生在解题时，往往因为应用数学思想薄弱或使用不当等而错解题目.下面就同学们在解题中经常出现的错误分析如下.
一、分类讨论思想薄弱或未掌握分类的标准导致错误
分类讨论思想是高考重点之一.由于需要分类讨论的问题存在诸多不确定性，学生在解题时，经常出现的错误是分类讨论思想薄弱，不会应用；或者思维简单，解题不完整；或者分类标准不准确遗漏或者重复；或者分类对象不正确而导致错误.
例1如果集合M＝{x|（m-1）x2+2x+1=0}只含有一个元素，求实数m的值.
错解:因为M中只有一个元素，所以方程有两个相等实数根，即Δ=22-4（m-1）=0.解得m＝2.
辨析:因为分类讨论思想薄弱，解题时认为方程（m-1）x2+2x+1=0是二次方程，而没有考虑m＝1时的情况，产生了漏解.
正解:（1）当m＝1时，x=-12，满足题意.
（2）当m≠1时，可得m=2.
所以m的值为1或2.
例2讨论函数f（x）＝loga（kx+b）的单调性.
错解:当a＞1时，函数f（x）＝loga（kx+b）单调递增；当0＜a＜1时，函数f（x）＝loga（kx+b）单调递减.
分析:函数f（x）的单调性是由y＝logau，u＝kx+b复合而成的，因此它的单调性不能仅由底数大于1，还是小于1而大于0来确定.这是没有掌握正确分类造成的错误.
正解:（1）当a＞1时，1°当k＞0时，函数在x＞-bk时，单调递增；2°当k＜0时，函数在x＜-bk时，单调递减.
（2）当0＜a＜1时，1°当k＞0时，函数在x＞-bk时，单调递减；2°当k＜0时，函数在x＜-bk时，单调递增.
二、没有数形结合思想意识或应用能力差导致错误
数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种数学思想方法.学生在应用数形结合思想解题时由于不能将数形等价转化而导致错误.
________________________ ________________________________ ________________________________ ________
例3函数f（x）＝4x-4,x≤1,x2-4x+3, x>1. 的图象和函数g（x）＝log2x的图象的交点个数是（________________________）
A.4B.3C.2D.1
错解:分别在同一坐标系作出两个函数图象，如图1-1所示，由图象可得两函数图象有两个交点.选C.
分析:由图象可以看出当x∈（0,1）时，4x-4＞log2x.而当x＝12时，显然4x-4＜log2x，这与图象是矛盾的.错因是没有注意两函数的相对位置，函数表达式与图象不是等价的.
正解:根据题意在同一坐标系作出两个函数图象，如图1-2所示，由图可知两个函数图象有且仅有三个交点.选B.
三、应用方程思想时转化问题不等价或未注意方程的特征导致的错误
由于没有掌握方程思想的精髓,在转化过程中使问题不等价，或者把问题转化为方程问题后没有注意问题的特征，解方程出现问题.
例4求函数y＝x2+7x+10x+1（x<-1）的最大值.
错解：因为y＝x2+7x+10x+1，所以x2＋（7-y）x＋10-y＝0.又因为x∈R且x≠-１，所以方程有实根，得Δ＝（7-y）2-4（10-y）≥0，所以y≤1或y≥9.所以ymax＝+∞.
分析：解题过程中，把函数y＝x2+7x+10x+1（x<-1）转化为方程x2＋（7-y）x＋10-y＝0后扩大了定义域的范围，使两个问题不等价，当然得到的结果就不一定正确了.
正解：因为x＜-1，所以x＋1≠0.所以xy＋y＝x2＋7x＋10，即方程x2＋（7-y）x＋10-y＝0有实根，x∈（-∞,-1）.因为Δ＝（7-y）2-4（10-y）≥0，所以y≤1或y≥9.又因为y≤1时，有x＜-1；当y≥9时，有x＞-1.所以ymax＝1.
例5向量a，b都是非零向量，且向量a＋3b与7a-5b相互垂直，求a与b的夹角.
错解：由题意可得（a+3b）•（7a-5b）=0,（a-4b）•（7a-2b）=0.即7a2+16a•b-15b2=0, （1）7a2-30a•b+8b2=0.（2） （1）-（2），得46a•b＝23b2，所以2a•b＝b2.因为b≠0，所以a＝12b.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a•b|a|•|b|＝12b2b2＝12.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.
分析：由两个向量垂直，得到方程组是正确的，由2a•b＝b2变形为a＝12b是错误的.因为向量方程不满足消去律，比如a＝0，b⊥c时，a•b＝b•c＝0，但是不一定c＝0
正解:由题意可得（a+3b）•（7a-5b）=0,（a-4b）•（7a-2b）=0. 即7a2+16a•b-15b2=0, （1）7a2-30a•b+8b2=0.（2） （1）-（2），得46a•b＝23b2，所以2a•b＝b2（3）.将（3）代入（1），得a2＝b2.所以|a|＝|b|.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a•b|a|•|b|＝a•b|b|2＝12b2b2＝12.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.
四、不会应用函数的思想解决问题导致的错误
思维僵化,解决问题不能用运动和变化的思想考虑问题，也就是应用函数的思想解决问题的能力差.或者不顾条件“生硬”转化为函数问题，转化不等价.
例6已知a，b是两个非零向量，求实数t的值，使|a+tb|最小，并求b与a+tb的夹角.
错解：根据题意，|b|≠0.因为|a+tb|2＝（a+tb）（a+tb）＝a2＋2t（a•b）＋t2b2＝|a|2＋2t（a•b）＋t2|b|2＝|b|2t2+2•a•b|b|2t+（a•b|b|2）2〗＋|a|2-（a•b）2|b|2＝|b|2（t+ab）2＋|a|2-ab.又因为t∈R，所以t＝-ab时，|a+tb|2取得最小值，即|a+tb|取得最小值.此时b•（a+tb）＝b•（a-ab•b）＝b•（a-a）＝b•0＝0，所以b⊥（a+tb），即b与a+tb的夹角为90°.
分析：转化为函数没有错误，但是没有注意函数|a|2＋2t（a•b）＋t2|b|2的系数是向量而不是实数，显然把实数的运算性质用在向量上是错误的.
正解：根据题意，|b|≠0.因为|a+tb|2＝（a+tb）（a+tb）＝a2＋2t（a•b）＋t2b2＝|a|2＋2t（a•b）＋t2|b|2＝|b|2t2+2•a•b|b|2t+（a•b|b|2）2〗＋|a|2-（a•b）2|b|2＝|b|2（t+a•b|b|2）2＋|a|2-（a•b）2|b|2.又因为t∈R，所以t＝-a•b|b|2时，|a+tb|2取得最小值，即|a+tb|取得最小值.此时由t＝-a•b|b|2，得b•（a+tb）＝b•（a-a•b|b|2•b）＝b•a-a•b|b|2（b•b）＝a•b-a•b＝0，所以b⊥（a+tb），即b与a+tb的夹角为90°.
五、利用转化与划归数学思想转化不等价导致的错误
在解决数学问题时，经常遇到一些问题直接求解比较困难，需要将原问题转化为一个自己比较熟悉的新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法就称为转化与化归的思想方法.但是，学生在划归或转化过程中，往往因为方法不熟、忽视条件或者转化不当而错解题目.
例7求使关于x的方程logb（2lga-x）•logxb=2-logbxlogbx有实数解的a、b所满足的条件.
错解：原方程变形，得logb（2lga-x）+logbx=2①，即logb（2lga-x）x〗=2，所以2xlga-x2=b2，亦即x2-2xlga+b2=0②.因为方程有实数解，故△＝4lg2a-4b2≥0，解得lga≥b或lga≤-b.所以a≥10b或00且b≠1）时，方程有实数解.
分析：错因是没有考虑对数函数的定义域及方程变形要同解，从原方程变形为①开始转化就不等价了，这样得到的结果就不可能正确了.
正解：要使方程有意义，则a>0b>0,b≠1x>0,x≠12lga-x>0 .即（1）2lga>x>0,x≠1b>0,b≠1 ，此时原方程变形为x2-2xlga+b2=0，△＝4（lg2a-b2）≥0，即（2）lga≥b或lga≤-bx=lga±lg2a-b2 .由（1）、（2）得2lga>x>0（x≠1）x=lga±lg2a-b2lga≥b>0（b≠1） .又因为当x=1时，lga=b2+12，此时方程的另一个根为x=b2.因为b>0且b≠1，所以x=b2≠1.综上所述，原方程有实根的条件是lga≥b，且b>0，b≠1；即a≥10b，且b>0，b≠1.
针对数学解题，数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”. 因此，正确地利用数学思想解决问题，对培养学生的数学能力和优化学生的素质都有帮助.
一、分类讨论思想薄弱或未掌握分类的标准导致错误
分类讨论思想是高考重点之一.由于需要分类讨论的问题存在诸多不确定性，学生在解题时，经常出现的错误是分类讨论思想薄弱，不会应用；或者思维简单，解题不完整；或者分类标准不准确遗漏或者重复；或者分类对象不正确而导致错误.
例1如果集合M＝{x|（m-1）x2+2x+1=0}只含有一个元素，求实数m的值.
错解:因为M中只有一个元素，所以方程有两个相等实数根，即Δ=22-4（m-1）=0.解得m＝2.
辨析:因为分类讨论思想薄弱，解题时认为方程（m-1）x2+2x+1=0是二次方程，而没有考虑m＝1时的情况，产生了漏解.
正解:（1）当m＝1时，x=-12，满足题意.
（2）当m≠1时，可得m=2.
所以m的值为1或2.
例2讨论函数f（x）＝loga（kx+b）的单调性.
错解:当a＞1时，函数f（x）＝loga（kx+b）单调递增；当0＜a＜1时，函数f（x）＝loga（kx+b）单调递减.
分析:函数f（x）的单调性是由y＝logau，u＝kx+b复合而成的，因此它的单调性不能仅由底数大于1，还是小于1而大于0来确定.这是没有掌握正确分类造成的错误.
正解:（1）当a＞1时，1°当k＞0时，函数在x＞-bk时，单调递增；2°当k＜0时，函数在x＜-bk时，单调递减.
（2）当0＜a＜1时，1°当k＞0时，函数在x＞-bk时，单调递减；2°当k＜0时，函数在x＜-bk时，单调递增.
二、没有数形结合思想意识或应用能力差导致错误
数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种数学思想方法.学生在应用数形结合思想解题时由于不能将数形等价转化而导致错误.
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例3函数f（x）＝4x-4,x≤1,x2-4x+3, x>1. 的图象和函数g（x）＝log2x的图象的交点个数是（________________________）
A.4B.3C.2D.1
错解:分别在同一坐标系作出两个函数图象，如图1-1所示，由图象可得两函数图象有两个交点.选C.
分析:由图象可以看出当x∈（0,1）时，4x-4＞log2x.而当x＝12时，显然4x-4＜log2x，这与图象是矛盾的.错因是没有注意两函数的相对位置，函数表达式与图象不是等价的.
正解:根据题意在同一坐标系作出两个函数图象，如图1-2所示，由图可知两个函数图象有且仅有三个交点.选B.
三、应用方程思想时转化问题不等价或未注意方程的特征导致的错误
由于没有掌握方程思想的精髓,在转化过程中使问题不等价，或者把问题转化为方程问题后没有注意问题的特征，解方程出现问题.
例4求函数y＝x2+7x+10x+1（x<-1）的最大值.
错解：因为y＝x2+7x+10x+1，所以x2＋（7-y）x＋10-y＝0.又因为x∈R且x≠-１，所以方程有实根，得Δ＝（7-y）2-4（10-y）≥0，所以y≤1或y≥9.所以ymax＝+∞.
分析：解题过程中，把函数y＝x2+7x+10x+1（x<-1）转化为方程x2＋（7-y）x＋10-y＝0后扩大了定义域的范围，使两个问题不等价，当然得到的结果就不一定正确了.
正解：因为x＜-1，所以x＋1≠0.所以xy＋y＝x2＋7x＋10，即方程x2＋（7-y）x＋10-y＝0有实根，x∈（-∞,-1）.因为Δ＝（7-y）2-4（10-y）≥0，所以y≤1或y≥9.又因为y≤1时，有x＜-1；当y≥9时，有x＞-1.所以ymax＝1.
例5向量a，b都是非零向量，且向量a＋3b与7a-5b相互垂直，求a与b的夹角.
错解：由题意可得（a+3b）•（7a-5b）=0,（a-4b）•（7a-2b）=0.即7a2+16a•b-15b2=0, （1）7a2-30a•b+8b2=0.（2） （1）-（2），得46a•b＝23b2，所以2a•b＝b2.因为b≠0，所以a＝12b.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a•b|a|•|b|＝12b2b2＝12.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.
分析：由两个向量垂直，得到方程组是正确的，由2a•b＝b2变形为a＝12b是错误的.因为向量方程不满足消去律，比如a＝0，b⊥c时，a•b＝b•c＝0，但是不一定c＝0
正解:由题意可得（a+3b）•（7a-5b）=0,（a-4b）•（7a-2b）=0. 即7a2+16a•b-15b2=0, （1）7a2-30a•b+8b2=0.（2） （1）-（2），得46a•b＝23b2，所以2a•b＝b2（3）.将（3）代入（1），得a2＝b2.所以|a|＝|b|.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a•b|a|•|b|＝a•b|b|2＝12b2b2＝12.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.
四、不会应用函数的思想解决问题导致的错误
思维僵化,解决问题不能用运动和变化的思想考虑问题，也就是应用函数的思想解决问题的能力差.或者不顾条件“生硬”转化为函数问题，转化不等价.
例6已知a，b是两个非零向量，求实数t的值，使|a+tb|最小，并求b与a+tb的夹角.
错解：根据题意，|b|≠0.因为|a+tb|2＝（a+tb）（a+tb）＝a2＋2t（a•b）＋t2b2＝|a|2＋2t（a•b）＋t2|b|2＝|b|2t2+2•a•b|b|2t+（a•b|b|2）2〗＋|a|2-（a•b）2|b|2＝|b|2（t+ab）2＋|a|2-ab.又因为t∈R，所以t＝-ab时，|a+tb|2取得最小值，即|a+tb|取得最小值.此时b•（a+tb）＝b•（a-ab•b）＝b•（a-a）＝b•0＝0，所以b⊥（a+tb），即b与a+tb的夹角为90°.
分析：转化为函数没有错误，但是没有注意函数|a|2＋2t（a•b）＋t2|b|2的系数是向量而不是实数，显然把实数的运算性质用在向量上是错误的.
正解：根据题意，|b|≠0.因为|a+tb|2＝（a+tb）（a+tb）＝a2＋2t（a•b）＋t2b2＝|a|2＋2t（a•b）＋t2|b|2＝|b|2t2+2•a•b|b|2t+（a•b|b|2）2〗＋|a|2-（a•b）2|b|2＝|b|2（t+a•b|b|2）2＋|a|2-（a•b）2|b|2.又因为t∈R，所以t＝-a•b|b|2时，|a+tb|2取得最小值，即|a+tb|取得最小值.此时由t＝-a•b|b|2，得b•（a+tb）＝b•（a-a•b|b|2•b）＝b•a-a•b|b|2（b•b）＝a•b-a•b＝0，所以b⊥（a+tb），即b与a+tb的夹角为90°.
五、利用转化与划归数学思想转化不等价导致的错误
在解决数学问题时，经常遇到一些问题直接求解比较困难，需要将原问题转化为一个自己比较熟悉的新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法就称为转化与化归的思想方法.但是，学生在划归或转化过程中，往往因为方法不熟、忽视条件或者转化不当而错解题目.
例7求使关于x的方程logb（2lga-x）•logxb=2-logbxlogbx有实数解的a、b所满足的条件.
错解：原方程变形，得logb（2lga-x）+logbx=2①，即logb（2lga-x）x〗=2，所以2xlga-x2=b2，亦即x2-2xlga+b2=0②.因为方程有实数解，故△＝4lg2a-4b2≥0，解得lga≥b或lga≤-b.所以a≥10b或0
分析：错因是没有考虑对数函数的定义域及方程变形要同解，从原方程变形为①开始转化就不等价了，这样得到的结果就不可能正确了.
正解：要使方程有意义，则a>0b>0,b≠1x>0,x≠12lga-x>0 .即（1）2lga>x>0,x≠1b>0,b≠1 ，此时原方程变形为x2-2xlga+b2=0，△＝4（lg2a-b2）≥0，即（2）lga≥b或lga≤-bx=lga±lg2a-b2 .由（1）、（2）得2lga>x>0（x≠1）x=lga±lg2a-b2lga≥b>0（b≠1） .又因为当x=1时，lga=b2+12，此时方程的另一个根为x=b2.因为b>0且b≠1，所以x=b2≠1.综上所述，原方程有实根的条件是lga≥b，且b>0，b≠1；即a≥10b，且b>0，b≠1.
针对数学解题，数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”. 因此，正确地利用数学思想解决问题，对培养学生的数学能力和优化学生的素质都有帮助.