边界元法由于只需要在分析域的边界离散,并且具有半解析性质,所以是解决裂纹问题的重要手段.和其它域内方法(比如有限元方法等需要区域离散的数值方案)相比,边界元法减少了求解问题所需的数据和方程组的规模,不但节约了数据准备工作量,还节省了计算机时.由于边界元法采用了能够精确满足域内偏微分方程的基本解,离散化误差仅来源于边界,具有解析和离散相结合的特点,因此具有较高的精度,并且基本上没有内部近似,所以裂纹尖端的应力奇异场可以更加准确的模拟和分析.裂纹两个表面重合的病态几何性质将导致位移型边界积分方程退化为不适定的.这种数学退化可以通过多种方案来解决,其中较有影响的有多区域边界法(Multiregion BEM)和对偶边界元法(Dual BEM).对偶边界元法是一种有效的断裂分析工具,最先用于二维线弹性断裂分析,模拟了裂纹在循环载荷作用下的疲劳扩展.对偶边界元法在裂纹的两个面上分别使用位移方程与面力方程,从而克服了重合的裂纹表面所引起的数学退化,建立了一种适用于混合型裂纹分析的通用格式.使用该方法分析裂纹问题,不需要引入人工边界将含裂纹体划分为多个子域,分析在原来的单域内完成.目前边界元法已经成为线弹性断裂分析的有效工具,而且成功的扩展到弹塑性断裂力学问题、热弹性断裂力学问题和动态裂纹问题等领域.边界元法形成的方程组的系数矩阵通常是非对称的满阵,计算规模和求解速度受到很大的限制.设模型的自由度为N,则系数矩阵的存储消耗为O(N2).如果使用高斯消去等直接求解方案,计算量为O(N3).当求解问题的规模比较大时,传统边界元法的计算速度和硬件需求较大,为了解决此问题,本文中采用了快速多极边界元算法,采用了复数Taylor 展开和球谐函数展开两种展开形式,将存储量和计算量降低为O(N)量级,用于三维线弹性体问题的求解.材料的性能,比如刚度、强度等受到裂纹损伤的明显影响,并且是预测结构承载能力的重要基础.含平裂纹介质的有效弹性模量的分析预测已经由多人从多种方法做过研究了.最简单方法的是裂纹之间没有互相作用的近似,称之为Taylor 方法或者稀释浓度法(DCM).如果考虑到裂纹间的互相作用,则分析近似方法有自洽法(SCM),Mori-Tanaka 法,微分方法,广义自洽法,冯余法等.本文中采用DSM 法和冯余法两种理论近似方法作为数值计算的对比.本文将快速多极对偶边界元算法应用到含大量微裂纹的三维弹性介质问题中,计算其等效的弹性模量.由于线性代数方程组使用广义极小残值迭代法(GMRES)求解,为了加速迭代收敛,根据具体的裂纹形状建立了预条件处理矩阵与初始迭代向量.这个快速多极对偶边界元法研究模拟了边界完全离散的微型结构,由此可以得到高精度的结果.本研究中采用了三维DBEM 的C++代码来模拟含大量微裂纹的弹性介质,及其有效弹性模量.代码运行在一台PC 上(Intel Core i7-3770,内存16GB).在此对偶边界元中采用了8 节点四边形单元,并沿用了三个设定：(1)裂纹模型的不连续单元；(2) 裂纹面交界处或边缘逼近的不连续单元,(3)裂纹面其余部分的连续单元.对于不连续和边缘-不连续单元,位置系数取为0.67.采用了高斯求积法来直接求解奇异积分和近场常规积分,在GMRES法中,相对误差取为10-5.所有微裂纹都为圆形,在条数一定的基础上半径由裂纹密度决定.所有裂纹面都离散为不连续单元,立方体表面交界处则离散为边界-不连续单元,其余则采用连续单元.为验证此方法的计算准确性,先做了一些数值测试算例,包括中心位置含一条单独裂纹的算例和和多条规律分布(4×4×4=64,法线方向为X3 方向)的裂纹模型算例,其存在理论解可以作为和本文中数值结果的对比.对比表明本文中的应力强度因子的数值结果和理论精确解有较好的符合度,和理论解的误差控制在1.5％内,说明此边界元法在处理裂纹问题中的可信度较高.除此之外,算例中还计算了介质的有效弹性模量(三个方向的纵向的刚度系数)随裂纹密度的变化规律.裂纹密度在裂纹条数已定的情况下随着裂纹半径而变化.将有效弹性模量的数值计算结果和两种典型的理论近似解DSM 法和冯余法进行比较,发现其随裂纹密度的变化规律基本处在两种对比方法的结果之间,有较好的可信度.并且相对于DSM 法,冯余法作为其的改进方法,在精度和准确性上更好,文中的一条裂纹算例和多条规律分布算例都较靠近冯余法的结果,并且如我们所料,多条规律分布裂纹比单条裂纹在弹性模量上更小,与事实相符.除此验证算例外,文中还计算了两个典型算例,其一是含大量随机裂纹的立方体弹性介质,另一个是含一组平行裂纹的立方体弹性介质(即裂纹方向相同,法线方向为X3 方向,裂纹位置随机分布),两个算例中裂纹之间都没有相交.若宏观角度上看,当含有很多随机分布的微裂纹后,此弹性介质可以认为是三个方向都是各向同性的,而当有一组平行裂纹存在时,X3 方向的材料性质将会被弱化,而其垂直面内也是各向同性的.所以本文在计算有效弹性模量时,对于含随机裂纹算例,主要得到其等效杨氏模量和等效体积弹性模量,而对于含一组平行裂纹的算例,则主要计算X3 方向的杨氏模量和不同方向的纵向刚度系数(平行X3 方向和垂直于X3 方向).随着裂纹半径变化,含一组平行裂纹算例的裂纹密度从0.01 变化到0.19,含随机分布裂纹算例的裂纹密度从0.01 变化到0.15.两个算例中的弹性模量结果和DSM 法、冯余法两种理论近似解对比,基本处在两者结果之间,与预期符合较好.在含一组平行裂纹的算例中,两个方向的纵向刚度都较为靠近DSM 法结果；而含随机裂纹算例中,有效杨氏模量的数值结果比DSM 法和冯余法两种对比方法都要稍稍高一些,而不是处在两种近似解之间.对于体积系数来说,当裂纹密度较低时,数值结果与冯余法的理论近似解较相近,而当裂纹密度比较高时,数值结果就和DSM 法比较相近.简而言之,本文采用了一种基于微观的快速多极对偶边界元算法来计算含大量平行裂纹或者随机分布裂纹的三维弹性介质的有效弹性模量.数值结果表明本文的算法结论与作为对比的DCM 法和冯余法两种理论解符合得很好.而且由于此快速多极对偶边界元法离散了域内所有的边界,所以其可以推广适用于裂纹位置和方向任意分布的构件力学性能计算,而不仅仅是带有裂纹随机分布性质的规则体.由于本方法中没有对内部裂纹边界的离散做假定和简化,所以其可以推广到其他任意形状含裂纹分布的弹性体性能模拟问题.