弹性梁理论通常利用中面上的变形来描述整个弹性区域的变形,显然,对三维弹性理论而言,梁理论是一种近似理论。由于近似方法的不同,近似程度的差异,产生了各种弹性梁理论,例如：Bernoulli-Euler梁理论,Timoshenko梁理论和Levinson梁理论等。为了建立完整、精确、合理的梁理论,还需发展与它的控制微分方程相匹配的边界条件,否则由这些方程提供的高阶精确性将变得毫无意义。作者利用互易定理和弹性通解,获得了精确到各阶的简洁,普适的边界条件。首次获得了两组应力与位移的混合边界条件,而纯应力边界条件与传统的边界条件完全一致,但没有成功获得纯位移的边界条件。本文从狭长矩形深梁的Levinson梁理论出发,利用合理的纯位移边界条件,即最小二乘法确定位移边值问题,研究悬臂梁承受3种载荷的情况：自由端受切向力,上表面受均布载荷和线性载荷。与有限元计算结果进行比较,说明采用最小二乘法确定边界条件大大优于传统的确定方法。