本文由两部分组成。第一部分（即第三章）研究一类Moran测度的点态维数。在强分离条件下,Geronino和Hardin [36]证明了自相似测度的点态维数几乎处处等于一个常数。Strichartz [98]进一步将这个结果推广到满足开集条件的自相似集。Cawley和Mauldin [12]研究了一类特殊的Moran集上支撑的Moran测度,在这类Moran集的构造中,逐次迭代采用相同的压缩映射（映射个数和压缩比相同）。在强分离条件下,他们得到这类Moran测度的点态维数公式（在几乎处处的意义下）。在上面的研究中,一个关键的技巧是将问题转化到符号空间,再利用符号空间上移位算子的性质得到结果。本文（第三章）研究一类更广泛的Moran集,在其构造中逐次采用不同的压缩映射个数和压缩比,因此,无法再将问题转化到符号空间。为了克服这个困难,我们利用概率论中的大数定律和0-1率来研究这类Moran测度的点态维数。在第三章中,我们得到了下面的结果:（1）对于满足强分离条件的Moran测度,在压缩比一致有界的假设条件下（即infk,j ck,j > 0）,我们得到该Moran测度的上、下点态维数公式（在几乎处处的意义下）. （2）在强分离条件下,我们得到齐次Moran集上的Moran测度的上、下点态维数公式（在几乎处处的意义下）. （3）在开集条件下,我们证明广义自相似测度的上、下点态维数几乎处处等于常数。同时,我们给出了这类Moran测度的维数公式。第二部分（即第四章）研究欧氏空间中紧子集上的加倍测度的某些性质。设X是欧氏空间的紧子集,μ为支撑在X上的加倍测度,记E为X的聚点集,F为X的孤立点集,称μ|E为μ的连续部分,μ|F为μ的原子部分。Kaufman和Wu [56]提出了下面的问题:是否存在R1上的紧集X和X上的加倍测度μ,使得X的孤立点集在X中稠密,并且μ的连续部分仍然是加倍测度。在第四章中,我们给了这个问题一个完整的回答。即证明:对于Rn中每个无孤立点,并且无处稠密的紧子集E,及E上的任意加倍测度μ,存在一个可数集F（F∩E = ?）,以及支撑在E∪F上的加倍测度ν,使得μ恰为ν的连续部分。文[64]证明了下列结果:存在[0,1]上Hausdor?维数为1的紧子集E,使得E上的所有的加倍测度都是纯原子的。由此,自然提出下面的问题:是否存在[0,1]上具有正Lebesgue测度的紧集,其上的所有加倍测度都是纯原子的?在本文中,我们对这个问题给出一个否定的回答,即证明Rn中任意具有正Lebesgue测度的紧集上,存在非纯原子的加倍测度。