在本文中，主要研究非线性椭圆方程组解的存在性以及解的部分对称性质.　　首先，考虑下面带有线性耦合项和非线性耦合项的薛定谔方程系统:{-△u(x)+(λ1+V(x))u(x)+κv(x)=μ1u3(x)+βu(x)v2(x)，x∈Ω，-△v(x)+κu(x)+(λ2+V(x))v(x)=μ2v3(x)+βu2(x)v(x)，x∈Ω，u(x)=v(x)=0，x∈(e)Ω(或者当Ω=RN时，u，v∈H1(RN))，其中Ω(∈)RN，N=1、2、3，λ1、λ2、μ1、μ2是正常数，κ、β∈R分别是线性耦合系数和非线性耦合系数.它是许多重要物理模型的基本方程，比如玻色-爱恩斯坦凝聚、非线性光学等.　　这个系统很早就引起人们的广泛关注.当线性耦合项为零时，Ambrosetti，Bartsch，Dancer，Terracini，Z.Wang，J.Wei，刘兆理，张志涛，邹文明等许多国内外著名的数学家都对此系统有过深入的研究并取得了很多经典结果.然而，当线性耦合项不为零时，这个系统处理起来比较困难，研究结果比较少.当既有线性耦合项又有非线性耦合项时，研究该系统基态解的存在性、束缚态解的存在性、基态解的部分对称性以及参数β对系统正解个数的影响.　　在第二章中，主要研究该系统基态解的存在性.首先，假设位势V≡0，当线性耦合项系数κ满足某些条件，定义适当的Nehari流形并研究能量泛函在该流形上的限制，通过Ekeland变分原理、椭圆的正则性理论以及极值原理，得到分量不变号基态解的存在性.之后，研究位势V(≠)0时该系统基态解的存在性，如果Ω=RN并且V在无穷远处有极限，通过定义适当的Nehari流形并和极限方程组的能量作比较，我们也可以得到分量不变号基态解的存在性.　　在第三章中，考虑对称情形的系统，研究束缚态解的个数.我们定义一个反射变换，用Nehari流形和指标理论研究多个正解的存在性，并且研究参数β对系统正解个数的影响.　　在第四章中，考虑解的性质.研究前面得到的基态解是否具有某种部分对称性，将用极化的方法证明它们关于同一个点具有叶状施瓦兹对称性.　　和前面几章不同，在第五章中，考虑β不是一个常数的情形.假设位势V和线性耦合项系数为零，考虑如下带有扰动项的系统:{-△u(x)+λ1u(x)=μ1u3(x)+εβ(x)u(x)v2(x),x∈R3,-△v(x)+λ2v(x)=μ2v3(x)+εβ(x)u2(x)v(x),x∈R3,(1)u(x)＞0，v(x)＞0，x∈R3，u(x)，v(x)∈H1(R3)，其中ε∈R是一个小参数，β(x)属于R3上某个可测函数空间.通过证明某类非退化性条件和利用有限维约化的方法，我们证明小扰动后该系统有解.　　最后，研究半线性椭圆偏微分方程.在第六章中，考虑某些半线性椭圆偏微分方程的多解性，它们的非线性项关于因变量不具有奇性.但是通过使用Nehari流形，能够证明这些方程有不可数多个非平凡的解并且这些解都是叶状施瓦茨对称的.