控制论中几类Sylvester矩阵方程的数值算法研究

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Sylvester方程是控制理论和许多其它工程领域内很重要的方程,由于它广泛的应用背景,Sylvester方程已经吸引了许多研究者的广泛关注.因此,快速而有效地求解Sylvester方程已成为数学研究中的热点问题.本文针对控制论中几类Sylvester方程进行详细地理论分析和算法研究,得出一些较好的数值结果.本文组织结构如下:绪论,介绍了 Lyapunov方程、Sylvester方程、Riccati方程的来源及应用.对近几年来Sylvester方程的研究现状也进行简单介绍.第1章,研究了修正共轭梯度算法(MCG)求解广义Sylvester共轭方程AXB+CXD=E的极小范数哈密顿解.首先,介绍了求解线性方程的共轭梯度算法(CG)及广义Sylvester共轭方程的MCG算法.接着,在不计舍入误差的情况下,证明了对任意初始矩阵该算法在有限迭代步内是收敛的;通过选择特殊类型的初始矩阵,获得了极小范数解.数值实验验证了这种方法的有效性.第2章,研究了共轭梯度最小二乘算法(CGLS)求解广义耦合Sylvester共轭方程A1X+B1Y=D1XE1+F1,A2Y+B2X=D2YE2+F2的解.当方程是相容的,获得了精确解;当方程是不相容的,在不计舍入误差的情况下,通过有限迭代步获得了最小二乘解.数值例子说明了这种方法的有效性.第3章,通过广义共轭方向算法(GCD)求解广义耦合Sylvester转置矩阵方程A1XB1+C1YTD1=E1,A2XTB2+C2YD2=E2的自反(反自反)解,证明了在不计舍入误差的情况下,该算法在有限迭代步内是收敛的;通过选择特殊类型的初始矩阵,获得了极小范数解.数值实验验证了这种方法的有效性.第4章,在HSS迭代法的基础上,构造一种广义参数埃尔米特和反埃尔米特分裂(GPHSS)迭代法求解Sylvester方程AXB=C,给出了一般收敛性准则,通过分析谱半径的相关性质,得出了最优参数,数值实验表明了这种方法的可行性.
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