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本文的主要工作是构造了求解理想磁流体动力学(MHD)方程组的全局散度为零的间断有限元(DG)方法，和构造了对标量守恒律满足极大值原理的任意拉格朗日欧拉间断有限元(ALE-DG)方法以及求解欧拉方程组保密度和压强为正的ALE-DG方法，并构造和分析了含高阶空间导数偏微分方程的具有L2最优精度的DG方法。 本文的第一部分，提出了磁场量近似解的散度全局为零的数值方法来求解理想的MHD方程组。理想的MHD方程组可写成非线性双曲守恒律方程组和感应方程的组合。提出的数值方法是基于空间离散的DG方法。首先将感应方程在单元界面上离散，即用DG方法近似求解磁场量在单元界面的法向分量。然后，利用DG方法求解流体量对应的非线性方程组。基于H(div)有限元空间，使用磁场量的法向分量的近似解逐个单元重构了全局散度为零的磁场量。对于时间离散，使用了强稳定性的龙格-库塔(Runge-Kutta)方法。为了确定在单元界面上及单元顶点上电场相关的数值流通量的选取，对感应方程的DG格式做了数值验证和理论分析。本文中构造的求解MHD方程组的方法是局部的，以及磁场量近似解的散度是全局为零的。通过数值算例验证了此方法的收敛性和稳定性。 本文的第二部分，研究了二维单纯形网格上求解标量守恒律方程的满足极大值原理的ALE-DG方法以及求解一维可压缩欧拉方程组的保正ALE-DG方法。首先给出了半离散ALE-DG方法，并分析了其L2稳定性。对标量守恒律方程，研究了二维单纯形网格上的全离散ALE-DG方法。阐述了空间维数与几何守恒律之间的关系，证明了使用大于等于空间维数的时间离散的ALE-DG方法满足几何守恒律。当使用Zhang、Xia和Shu提出的保界限制器(J.Sci.Comput.50(2012)，29-62)时，证明了全离散ALE-DG方法满足极大值原理。基于标量守恒律方程的ALE-DG方法，构造了求解一维可压缩欧拉方程组的保正ALE-DG方法。证明了在一定的CFL条件数下，欧拉方程组的ALE-DG方法的密度和压强的近似解的单元均值是正值。然后，使用Zhang和Shu提出的保正限制器(J.Comput.Phys.229(2010)，8918-8934)修正ALE-DG方法的近似解，使得求解欧拉方程组的高阶ALE-DG方法是保密度和压强为正的。在数值结果中，给出了二维单纯形网格上的数值算例验证了标量守恒律方程的ALE-DG方法的理论结果，并给出了一维空间上低密度或低压强问题的数值算例验证了保正ALE-DG方法的收敛性和可行性。 本文的第三部分，对含高阶空间导数的偏微分方程构造和分析了具有最优精度的间断有限元方法。本文中主要考虑的高阶导数偏微分方程是一维空间上的热传导方程、四阶导数方程、三阶波动方程以及线性Schr(o)dinger方程。通过引入辅助变量把高阶导数偏微分方程写成了只含有一阶导数的方程组，然后对该方程组使用标准的DG方法。对每个方程的DG格式，通过单元界面上流通量的平均值、数值解跳跃值以及辅助变量近似解的跳跃值的线性组合构造了数值流通量。本部分的主要工作是确定了数值流通量中的线性组合系数以保证我们的数值方法是稳定的且具有最优精度。在误差估计中，构造了与数值流通量对应的特殊投影算子用以消除可能在误差估计中会引起掉阶的项。最后在数值上验证了该方法的理论结果。