本文中,我们主要研究了单位圆盘D上的Bergman空间La2（D）上乘法算子Mφ的约化子空间和由它生成的von Neumann代数W*（φ）,以及相关的几何分析。由于Bergman空间是由面积测度定义的解析函数空间,其理论和复分析、复几何之间有着密切的联系。由von Neumann的二次换位定理,W*（φ）″=W*（φ）,从某种意义上讲,研究W*（φ）就等价于研究其换位子代数V*（φ）（?）W*（φ）′的结构,注意V*（φ）也是一个von Neumann代数。由此,我们发现了Bergman空间上的算子论和几何、群论之间的一些内在联系。当φ是一个稀疏Blaschke积时,运用解析延拓和局部逆的技巧,我们建立了V*（φ）中酉算子的表示,这一结果推广了Sun关于有限Blaschke积的工作[Sun1]。结合这些事实与算子论、复分析的工具,我们证明了当B是阶数不超过6的有限Blaschke积时,MB的极小约化子空间的数目至多为deg B。当deg B=2和deg B=3,4时,相应的结果分别由[SW,Zhu]和[GSZZ,SZZ1]获得。进一步,我们考虑了V*（φ）,其中φ是解析覆盖映射。我们给出了所有和Mφ交换的酉算子的表达,并由此证明了:对每个从单位圆盘D到复平面有界区域Ω上解析覆盖映射φ,von Neumann代数V*（φ）交换当且仅当Ω的基本群π1（Ω）交换;当且仅当Ω全纯同构于圆盘、去心圆盘、圆环之一。除了上面三种情形,我们还发现在所有其他情形下,V*（φ）总是一个Ⅱ1型因子,且W*（φ）是一个Ⅱ∞型因子。更深入地,我们考虑了φ为解析正则分支覆盖映射的情形,并发现V*（φ）的结构与Riemann轨形（orbifold Riemann surface）及群论密切相关。我们获得了一些深入的结果,比如存在大量的无限Blaschke积B,使得MB的约化子空间格有连续统的势,这和有限Blaschke积的情形是完全不同的。我们还考虑了多圆盘Dn中具有H∞-延拓性质的解析簇。作为应用,我们给出了D3中三点Pick-Nevanlinna插值问题唯一性的一个充分条件。