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Borel通过对Bernoulli试验的研究，给出了Borel强大数定律，后来在已有的相关文献中提出了一个推广的Borel强大数定律。本文改进了推广的Borel强大数定律，即把其中的条件dn=O(1/n)进行两种形式的减弱。第一种为dn=O(1/nα)，α＞0；第二种为dn=O(Cn)，其中Cn≥0,并且存在m∈N+，m≥2使得∑∞k=1Ckm＜∞，则相应的Borel结果成立。另外，我们还将此结果做了更进一步地推广，即对有界的随机变量序列情形该结果仍成立，同时提出其Borel强大数定律。此外，我们还推广了NA序列，p混合序列，φ混合序列等独立随机变量序列部分和的收敛定理，即把相应的定理推广到了任意随机变量部分和序列。本文中也研究了M-Z型序列的最大值不等式及大偏差定理。若{Xn，n≥1}为p阶M-Z型序列，记Sn(α)=∑α+ni=α+1X1，n≥1，α≥0,X1∈Lp，i≥1，从而可以得到p≥2情形下的M-Z型序列的最大值不等式及大偏差定理的估计：μ(|Sn(a)|＞n)≤cn-p/2；另外，还能得到p∈(1，2]情形下的估计：μ(|Sn(a)|＞n)≤cn1-p。文中最后给出了M-Z型序列部分和的最大值序列max|sksnSk(a)和混合序列部分和Sn(a)的大偏差定理。