随机非均匀材料是工程中常见的一类非均匀材料,其物理和力学性能预测本质上可以归结为多尺度问题.常规的连续介质模型及其计算方法难以有效求解这类问题,因此建立更为有效的多尺度模型与算法,成为科学与工程计算领域的重要问题之一.到目前为止已发展了一些均匀化方法和多尺度方法,可以对这类材料的性能进行预测,然而对一些复杂的构造形态,在计算精度和计算效率等方面尚存在诸多问题.本文将围绕形态复杂、各相材料性质差异悬殊的随机非均匀材料,建立其等效性能预测的高效计算方法,以达到减少计算量和提高计算精度的目的,实现多尺度问题的高效模拟.本文首先比较研究了四种典型的多尺度方法,根据多尺度解获取方式的不同,将其划分为上下式和解耦式两类方法.前者将多尺度问题分为宏观尺度解和多尺度解两步进行求解,其计算量依赖于用户对多尺度解的需求.后者直接获取整个区域上的多尺度解,其计算量与常规计算方法相当.通过对两类方法的比较,为针对具体多尺度问题选择或设计一种合适的多尺度方法提供了指导.作者还比较了四种多尺度方法的计算复杂度,并证明了其中两种多尺度方法还原多尺度解的等价性.其次,提出了采用Richardson外推法提高随机非均匀材料近似等效系数计算的精度和效率.近似等效系数是上下式多尺度方法需首先计算的参数,其精度依赖于代表体积元的尺寸,增大代表体积元尺寸会提高其精度,但同时导致计算量的急剧增加.基于在Dirichlet边界条件和Neumann边界条件下近似等效系数的一阶数值收敛阶,本文采用Richardson外推法提高其收敛阶,继而由较小代表体积元上的近似等效系数外推获取高精度的近似等效系数,避免在较大代表体积元上求解辅助问题,节约了大量计算量.通过数值算例验证了Richardson外推法的有效性,并通过理论分析给出了在上述两种边界条件下近似等效系数的单调收敛定理.另外,给出了近似等效系数一阶收敛阶分析需用到的多参数平均遍历定理.再次,为有效计算高对比随机非均匀材料的等效系数,提出了辅助问题的Robin边界条件.当随机非均匀材料各相材料性质差异悬殊时,Dirichlet边界条件和Neumann边界条件给出的近似等效系数误差过大.本文由遍历定理得到了辅助问题解在代表体积元边界上所满足的两个连续性质,基于此构造了一种Robin边界条件,并证明了在该边界条件下近似等效系数的收敛性.相比于上述两种边界条件,Robin边界条件给出了更高精度的近似等效系数.尽管Dirichlet-Neumann混合边界条件也能提高近似等效系数的精度,但Robin边界条件中调整因子的引入使其更为灵活,给出的近似等效系数精度也更高.由Robin边界条件在较小代表体积元上即可计算高精度的近似等效系数,避免了在较大代表体积元上求解辅助问题,减少了大量计算量.作为应用,本文最后采用统计二阶双尺度方法预测了具有核壳结构的三元共混聚合物的等效力学性能.在该共混物中,由两相形成了核壳颗粒并随机分布在第三相中.统计二阶双尺度方法是一种多尺度方法,本文将Richardson外推法引入其中,用来预测高精度的近似等效刚度参数;将统一强度理论引入其中,用于选择合适的屈服准则来预测高精度的强度参数.通过数值预测结果与实验数据及均匀化方法计算结果的比较,验证了本文方法的有效性.作者还讨论了壳层厚度对该共混物等效力学性能的影响,给新材料研发提供了重要参考.