寻找曲面之间的映射变换一直是计算几何、计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助设计/制造等领域研究的重点和基础。对于任意两个曲面之间的映射变换,要保证映射一一对应且光滑,还要求映射是微分同胚的。在映射的过程中要尽可能地减少由映射引起的扭曲,映射质量的好坏也主要由产生扭曲量的大小决定。相关领域科学家一直在寻找如何降低映射扭曲量的方法。映射变换在学术界和工业界有着非常广泛的应用。本文在调和映射的理论和算法基础上,对曲面保形映射、曲面保面积映射、曲面测度驱动映射、高亏格曲面映射展开研究。主要工作和结论如下:提出一种调和能量下降的非线性扩散算法来计算拓扑圆盘曲面的保形映射,然后把算法推广到高亏格曲面间的保形映射。算法在调和映射的基础上,通过一个非线性扩散过程来调整映射值的拉普拉斯切向,这个过程中能量不断下降,最后全局最小化调和能量获得曲面的保形映射。实验结果表明,文中算法可以很好地保证曲面三角网格的角度关系;算法对模型网格质量要求不高,具有更好的稳定性;与三个经典保形映射方法相比,该方法得到的结果更均匀、保形效果更好。所提方法可以在曲面参数化、纹理映射、曲面注册等领域得到很好的应用。改进现有基于最优传输的保面积映射算法。保形映射会引起参数域的面积畸变,而保面积映射可以降低映射的面积扭曲。一些学者提出一种基于Monge-Brenier理论的最优传输映射算法来实现保面积映射。本文在该算法基础上提出一个改进算法,改进了原映射算法中高度向量的变化规则,以适应计算过程中出现零面积包腔的情况,提高了算法的稳定性。把改进的保面积映射算法应用于法线贴图和法线设计。通过可视化对比实验数据,本文方法可以有效提高法线贴图对低分辨率模型呈现几何细节的能力。提出了一种基于度量驱动参数化的法线设计方法:在改进保面积映射方法基础上通过设置不同的目标面积度量而获得不同映射结果,从而得到不同参数化结果。利用这个特性可以把设计人员感兴趣曲面部分在参数域所占面积比例放大。该方法可以交互式地控制二维参数域,为二维参数域上的法线贴图设计提供有力工具。改进现有双曲调和映射算法。现有的双曲调和映射算法在初始映射阶段需要计算“裤子”分解。改进算法简化了初始映射的计算,把原来的“裤子”分解步骤转变为计算高亏格曲面的基本群规范生成元,然后在欧式空间中使用边界约束的欧式调和映射计算初始映射。该方法跟“裤子”分解方法相比更简单更直观。同时把改进的算法应用于高亏格曲面之间的光滑变形,为计算机视觉和动画领域提供了一个自动实现带环柄曲面之间形变的工具。