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众所周知，代数函数域理论是代数曲线理论的另一种表现形式。域K上的代数函数域F K是有理函数域K (x)的一个有限次代数扩张。而留数理论是代数函数域的主要内容之一.本文在国内外已有留数理论的基础上，给出了留数定理的一个应用.全文共分为两章第一章我们先给出了代数函数域理论的一些基础概念和已知结果。例如，赋值，位，求导与微分，P进展开。第二章我们介绍了留数的定义和留数定理，并在有理函数域K (x)K中应用留数定理给出了一类形如z=(x-α)~m.q(x)，q (α)≠0， m∈Ζ在P_α处的留数。