本文主要研究了数论中一些和式的算术性质。这些和式包括不完整区间上的特征和、多元多项式特征和、hyper—Kloosterman和、带特征的指数和、Dedekind和以及它们的推广和式。此外，还研究了半区间上的D．H．Lehmer问题以及以及一些Smarandache型函数的算术性质。具体来说，本文主要包括以下几方面的结果： 1．研究了带特征的完整三角和与两项指数和的高次均值，利用解析和初等的方法获得了它们四次均值的确切计算公式。 2．讨论了不完整区间上特征和的高次均值的渐近性质。首先，分别对四分之一区间上偶原特征和与奇原特征和进行了研究，获得了它们的2K次均值的渐近公式；第二，研究了八分之一区间上偶原特征和的2K次均值，并获得了一个较强的渐近公式；第三，对四分之一区间上的非主特征和的四次均值进行了研究，获得了一个较强的渐近公式；第四，讨论了四分之一区间上原特征和的一次均值，同样也获得了一些渐近公式；最后，利用我们获得的四分之一区间上特征和的一个恒等式，推广并证明了著名的欧拉数猜想。 3．讨论了多元多项式特征和的计算问题，对一类多元多项式特征和给出了确切的计算公式，并由此说明了Katz所获得的估计是最佳的。 4．对经典的Dedekind和与它的类似和式Cochrane和定义了一种特殊形式的均值，并研究了它们的渐近性质。定义了高维Cochrane和，得到了高维Cochrane和的阶估计与平方均值渐近公式。 5．研究了hyper—Kloosterman和的高次均值。在一定的条件限定下，给出了它的四次均值计算公式。 6．研究了D．H．Lehmer问题误差项的一种均值，并获得了一些有趣而奇特的结果。把D．H．Lehmer问题限定在半区间上。研究了半区间上D．H．Lehmer问题的误差项，获得了误差项平方均值的一个较强的渐近公式。 7．讨论了Smarandache函数的值分布性质和Smarandache幂函数的均值，得到了一些有趣的性质。