函数空间上的复合算子由于其与函数论的天然联系，这些年来越来越受到人们的关注。事实上，许多函数论的问题都可以在复合算子中找到相对应的问题，从而可以将算子理论中的方法技巧应用到相应的函数论问题。 人们主要对两种区域上的两类函数空间进行了讨论，一种是复平面中的单位圆盘上Hardy空间，另一种是Cn单位球上的Hardy空间。对Hardy空间上复合算子的研究取得了很多重要的结果，但在单位球上由于多复变函数结构的复杂性，相应的研究也比单位圆盘上的情形困难。伴随着函数空间的讨论，复合算子理论的研究也出现了很多重要的结果，例如对Bloch空间，Hardy空间上复合算子的研究。对于复合算子的推广除了加权复合算子外，也包括对空间的推广，这些推广都伴随着一些新的问题和新方法的出现。在复合算子的研究中算子的有界性，紧性是研究的重点。 本论文正是针对复合算子的有界性与紧性进行了较详细的讨论，通过本文的讨论，我们弄清了这几类函数空间上复合算子有界性与紧性的刻划，从而也加深了我们对这些复合算子的理解。主要内容为： 1.本文以Carleson测度为工具对映射到E(p，q)空间中复合算子紧性的讨论。本文首先证明了，复合算子Cψ为紧算子的充要条件，在此基础上通过对引入的Borel测度的讨论，找到了利用紧Carleson测度的性质作为复合算子Cψ紧性的表示特征。 2.对Hardy空间上的复合算子Cψ熟知其可逆性，Fredholm性等价于符号ψ是圆盘上的Mobius变换。本文对βp空间上复合算子Cψ的可逆性，Fredholm性进行了讨论，文中证明了Cψ具有可逆性，Fredholm性时ψ是圆盘上的Mobius变换。 3.在本文的最后，文中考虑了一类小加权Bloch空间上复合算子的有界性与紧性。为了得到复合算子Cψ有界和紧的刻划，文中分别建立了有界集和相对紧子集的等价刻划，在此基础上给出了该空间上复合算子为有界算子和紧算子的等价条件。