在现实系统及其外部环境中不可避免的存在随机干扰,影响系统的性态.基于随机微分方程描述的随机系统由于能更真实地模拟实际问题,更准确地反映自然与社会工程系统的动态特性,因此被广泛应用于工程技术、数理经济、神经网络、生态学、医学及控制论等各个领域的系统建模中.含有非线性、时滞、变系数、Markov跳变、分布参数等复杂因素的随机系统的稳定性及控制理论是当前的一个研究热点.由于非线性时滞随机微分方程解析解的显式表达式很难获得,构造合适的数值算法对相应的解过程进行数值模拟是既有理论意义又有实际应用价值的课题.本文以非线性与时滞随机系统为研究对象,对系统的稳定性及数值方法的收敛性、稳定性进行了探讨.本论文的主要工作有以下几个方面:1.概述了非线性与时滞随机系统的相关背景、研究意义和研究现状,简要介绍了与本论文相关的基础知识,并扼要介绍了全文的主要工作.2.研究了一类具有多时滞和非线性扰动的不确定随机系统的均方指数稳定性的问题.通过应用自由权矩阵和构造Lyapunov-Krasovkii泛函,得到了基于LMIs形式的时滞相关的鲁棒指数稳定的充分条件.最后,给出算例并和以往相关结论比较,验证了本章方法的有效性和较低保守性.3.探讨了随机时滞控制系统Euler-Maruyama(EM)数值方法的均方指数输入状态稳定性.关于输入状态稳定的研究,通常都是用Lyapunov方法,该方法依赖于存在一个合适的Lyapunov函数或泛函.然而,一般而言,并没有寻找Lyapunov函数或泛函的有效方法.数值方法为研究控制系统的特性,解决实际问题提供了一种新的途径.在不涉及Lyapunov控制函数或泛函的情况下,得到了随机时滞控制系统解析解与数值解之间均方指数输入状态稳定的等价条件.在系数满足全局Lipschitz条件且输入是均方连续可测的条件下,随机时滞控制系统是均方指数输入状态稳定的当且仅当存在充分小的步长>0, EM方法也是均方指数输入状态稳定的.最后,数值仿真的结果验证了本章理论的有效性.4.借助更一般的衰减函数研究了一类马尔可夫调制随机系统在一般速率下的稳定性.利用Ito公式, Borel-Cantelli引理和鞅指数不等式等随机分析技巧,先建立了解析解p阶矩稳定和几乎必然稳定的定理.然后证明在相同的条件下,对足够小的步长△>0, EM方法能保持相同的稳定性.5.研究了非线性随机延迟积分微分方程Milstein方法的收敛性和稳定性.首次用多维的Ito公式结合Taylor展开式推导出同时具有离散时滞和分布时滞的非线性随机微分方程的Milstein数值方法的计算格式.另外,通过相容性与收敛性的关系,利用多重Ito积分的性质与随机分析技巧,证明了Milstein方法的均方收敛阶为1.0,并得到均方指数稳定的充分条件.最后,用一个数值实例验证了理论结果.6.深入讨论了一类随机时滞递归神经网络的均方指数稳定性.首先,利用Ito公式和不等式技巧,得到系统平衡态均方指数稳定的充分条件.然后,用EM方法和分步向后Euler (SSBE)方法进一步讨论系统的均方指数稳定性质.最后,通过数值仿真说明本章提出的数值算法的有效性,并对两种方法进行比较.最后,总结全文并提出了有待进一步研究的问题.