以城市地理系统为实证对象,借助分形思想和相关的数学方法,探讨地理学意义的空间复杂性问题与复杂化机制。复杂性研究的最终目标在于寻找复杂系统的共同属性,作为一个分支研究,这篇文章理当更为专注于复杂与简单的数理关系。本文是一个过程性的研究,不以得出确定性的结论为最终目的,而是通过探索过程揭示城市系统空间复杂性的理论规律。⒈从异速生长律的纵向、横向和切向三个角度将地理空间划分为实空间、相空间和序空间,分别对应于空间系列、时间序列和等级序列三个层面,每个层面的测度各有自己的空间维度。⒉基于“空间循环细分-等级体系-网络结构”的数理等价关系,利用RMI(关系-映射-反演)原则,成功地实现了城市系统宏观模型的理论抽象,将空间复杂性问题表征为简单的指数式标度定律(包括数量律、规模律和尺度律),这一组标度律可以与一组幂次定律(包括具有分形性质的规模-数目律、异速生长定律和三参数Zipf定律)互为变换。通过这些数学变换,揭示分维的本质是标度律的临界尺度的对数比率,从而标度-测度-维度构成了本文的核心概念系列。⒊借助熵最大化方法从宏观上推导了标度律,利用效用最大化原理从微观上导出了标度律,然后建设了熵与效用最大化的对偶转换模型;通过对简单的网络模型的研究,论证熵与效用最大化过程本质上是追求系统整体上的最高效率与局部公平合理。⒋揭示标度律及其等价模型各种对称性质,发现城市系统具有平移对称、镜像对称和标度对称等内部对称性,这些对称性都对应着城市系统的不可观测量,其本质在于系统内部隐含的守恒律,包括标度变换的奇偶守恒、能量和信息的相对守恒等。⒌研究发现,城市地理系统在宏观层面具有对称性质,这意味着普适性地理规律的存在;微观层面对称破缺,这暗示城市地理系统模型的参数具有时空变异性质。一个模型的内部对称性即变换下的不变性与其外部对称性即所反映的规律的普适性存在正相关。这个发现为今后的地理模型甄别与计算方法的遴选提供了理论依据。⒍文章将主要的工作任务限定为复杂城市系统及其相关模型的建设、论证和解译方面,不倾向于过早的轻率结论。标度律是全文的逻辑核心,通过它们将城市系统的宏观与微观、整体与局部、有序与无序、随机与确定、简单与复杂、对称与对称破缺等对立问题有机地统一起来。尽管如此,本文还是得出了一些基本结论:所谓地理学的区域独特性实则空间复杂性,微观层面的对称破坏与宏观层面的对称重组是“突现”和空间复杂化的动力根源,城市系统自组织演化的优化目标似乎就是重建大自然的对称律。