【摘 要】
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分布阶偏微分方程可以精确地刻画一些整数阶和分数阶偏微分方程不能描述的物理过程.特别地,时间分布阶偏微分方程在描述具有记忆和遗传特性的反常扩散过程相较于其他数学模型有着明显的优势.本文利用有限元方法求解了几类分布阶偏微分方程.对于文章中的每一个数值格式都给出了相应的稳定性和收敛性分析,并通过一些具有代表性的数值算例验证了理论分析的正确性.本文的主要研究工作可以概括为以下几个部分:（1）在第三章中,为
【基金项目】
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国家自然科学基金（11761053, 11661058）,； 内蒙古自然科学基金（2020MS01003）； “草原英才”,“草原英才”工程青年创新创业人才； 自治区高等学校青年科技英才支持计划（NJYT-17-A07）；
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分布阶偏微分方程可以精确地刻画一些整数阶和分数阶偏微分方程不能描述的物理过程.特别地,时间分布阶偏微分方程在描述具有记忆和遗传特性的反常扩散过程相较于其他数学模型有着明显的优势.本文利用有限元方法求解了几类分布阶偏微分方程.对于文章中的每一个数值格式都给出了相应的稳定性和收敛性分析,并通过一些具有代表性的数值算例验证了理论分析的正确性.本文的主要研究工作可以概括为以下几个部分:（1）在第三章中,为了求解二维非齐次时间分布阶Cable方程,提出了一种具有WSGD算子逼近和复合梯形公式的非结构网格Galerkin有限元方法.通过时间方向上的Crank-Nicolson格式和空间方向上的Galerkin有限元方法构造方程的全离散格式,并讨论了数值算法的稳定性和收敛性,最后给出了凸区域上的一些数值算例来验证理论结果的正确性.（2）在第四章中,考虑了一种快速算法来求解二维非线性时间分布阶空间分数阶扩散方程,称之为时间两层网格（TT-M）有限元方法.在时间方向上,我们将TT-M算法与二阶σ向后差分格式和在时间t1处的Crank-Nicolson格式相结合来计算方程的数值解,从而加快了计算速度.同时,在空间方向上通过有限元方法进行近似.给出了数值算法的稳定性和误差估计的详细证明,可以得到二阶时间收敛精度.最后,通过一些数值算例来说明数值算法的有效性.（3）在第五章中,考虑了分布阶扩散波动方程的有限元解的误差估计,其中时间分数阶导数是在Caputo意义上定义的,其阶次α,β分别属于（0,1）和（1,2）.本章提出了在计算上行之有效的数值方法来模拟时间分布阶扩散波动方程.在时间方向上,通过中点求积公式把分布阶项转化为多项的时间分数阶导数项,并且利用L1和L2公式来近似Caputo分数阶导数;在空间方向上使用Galerkin有限元方法进行离散.给出了基于H1范数的有限元解的稳定性和误差估计的详细证明,最后的数值算例结果说明了理论分析的正确性以及有效性.
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