泛函微分方程由物理过程和生物系统中演化现象而得到,其中时滞在数学建模中用来描述过去的时间对动力系统的影响.随机现象在自然界中普遍存在,例如科学与工程中的复杂系统经常受到随机因素或者不确定性因素的影响.随机泛函微分方程就是在随机因素影响下的复杂系统的数学模型,有着很强的应用背景和实际意义,近几十年来受到了学者们的广泛关注并得到了快速发展.随机系统和确定系统的动力学性态既密切相关,又提出了自身的、与确定性系统不同的条件和要求,出现新特性.特别是,噪声所引起的动力学行为的变化是备受关注的难点问题之一.本学位论文主要运用泛函微分方程理论、随机动力系统理论和无穷维动力系统理论,研究了几类随机泛函微分方程的动力学行为,包括随机吸引子的存在唯一性和正则性及结构、不变测度的存在性、稳态解的存在性和指数稳定性、随机捕食-食饵模型和传染病模型的长时间行为和稳态分布.全文分五章进行分析:第一章介绍了随机泛函微分方程动力学的研究背景和意义,综合讲述了近年来关于随机泛函微分方程吸引子、不变测度和随机生物模型动力学的研究现状,并概括了本文的主要工作.随后,我们给出了符号说明及一些基础概念和结论.第二章,我们首先考虑Hilbert空间中带无穷维扩散的一类随机时滞微分方程.我们不仅研究了 Wiener过程和Lévy过程驱动下不变测度的存在性,而且得到了 Wiener过程驱动下系统拉回吸引子的存在性.我们进一步证明了非平凡稳态解的存在性和指数稳定性,且该稳态解是由随机变量和Wiener转换构成.最后,以带时滞和噪声的反应扩散方程为例来说明我们的结论.第三章,我们考虑了有界域上一类随机半线性退化抛物方程,且非线性项满足任意多项式增长条件.我们证明了由该类方程生成的随机动力系统在空间C（[-τ,0],Lp（O）∩ D01（O,σ））上存在随机吸引子.然后,我们证明了该吸引子是一个紧不变tempered集,且在C（[-τ,0],Lp（O））拓扑意义下吸引C（[-τ,0],L2（O））中的每一个增缓随机子集.最后,我们发现,在一定条件下,这个由单点集（即随机不动点）构成的随机吸引子生成了一个指数吸引的非平凡稳态解.第四章,我们考虑了一类功能反应项的随机捕食-食饵模型,其中随机因素对内在增长率和种内交互作用率都会产生扰动.首先,我们给出了方程解的随机界,接着借助于引进的阈值λ1和λ2,给出了两个物种存在和灭绝的判别条件.不仅如此,我们还研究了系统解稳态分布的存在性和边界过程的弱收敛性.最后我们通过数值模拟对所得到的理论结果进行了说明,并发现适当强度的白噪声可能会让捕食者和被捕食者的种群数量在所对应的确定系统的稳态值附近振动,但是太大强度的白噪声可能会导致捕食者和被捕食者灭绝.第五章,我们考虑了一类带有非线性传染率,Lévy跳以及随机切换的传染病模型.通过定义阈值λ,我们证明了,当λ>0时,疾病会持续存在且系统会有稳态分布,当λ<0时,疾病会消失且易感人群的数量会弱收敛到一个边界分布.最后,我们通过数值模拟对所得到的理论结果进行了说明.我们发现Lévy过程能够压制疾病的爆发,而且,当易感人群接触感染者的时候,可以通过采取适当的保护措施来降低疾病的感染率从而控制疾病的传播.此外,我们还发现,即使在某一种状态中疾病会消失,但是最终在切换机制下疾病仍可能会持续存在.