霍奇(Hodge)理论是20世纪数学中最重大的进展之一.著名的Hodge定理表明在紧定向流形M上的所有r阶调和形式构成的空间是一个有限维向量空间并且与第r个上同调群同构.Hodge理论的提出进一步揭示了分析与拓扑之间的深刻联系,给当代流形上分析的整体研究以巨大影响.格林(Green)算子是定义在调和补空间上的一个积分算子,它在微分形式上,尤其在微分形式的Hodge理论的研究中起着十分重要的作用.本文主要研究Green算子在实流形和复流形上的Hodge理论的应用.首先,对于实流形和复流形的微分形式空间,引进三种Laplace算子△d,△(?),△(?)和相应的Green算子G.及调和投影算子H.,指出Hodge分解定理可统一为一个方程:Id=H.+△.G..进一步从d-、(?)-、(?)-Hodge分解定理三个角度证明了相应的Green算子分别是有界自伴的椭圆算子,讨论了 de Rham上同调群或Dolbeault上同调群和调和形式空间的同构关系以及Green算子的特征值问题,并给出Green算子G.的可交换性质.其次,Hodge分解定理的证明可以转化为在紧致流形上解Laplace方程,本质是先寻找到一个弱解,然后再证明解的光滑正则性.本文利用了 Sobolev空间理论结合Green算子给出了弱解存在性的证明,在给出Garding不等式证明的基础上使其更具完备性.最后,启发于Liu-Zhu用Hodge理论求解微分方程的工作,引进两个拓展的Green算子(?)*G(?)和(?)*G(?),在证明它们具有拟等距性质的过程中展示Hodge分解定理的(?)-和(?)-版本及Green算子的多次迭代应用.此外,也讨论了拓展的Green算子(?)G(?)在求解(?)-微分方程(?)Ω+(?)(iφΩ)=0中扮演的角色,这对于启发求解Siu猜想的简化方程有重要的作用.