Lp空间中的凸体相关的不等式研究

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本论文隶属于现代几何分析的中的Lp-Brunn-Minkowski理论(又称为Brunn-Minkowski-Firey理论)的研究范畴,文章利用Lp-Brunn-Minkowski理论的基本概念、基本知识和积分变换方法,研究Lp-空间中的基础理论及相关的几何体的度量不等式和极值问题,主要研究对象包括新椭球Γ-2K、Lp-投影体IIpK、新几何体Γ-pK、径向平均体Rp(K)、混合径向平均体Rp(K,L,μ)、p-截面体CpK、混合p-截面体Cp(K,L)、单形等几何体的体积构成的度量不等式和极值问题,得出了以下主要结果; (1)给出了当多胞形的新椭球是球的一个充要条件,并研究了算子Γ-2的新性质,找到了使算子Γ-2保持单调性的一个集合.作为特例,文章对多胞形的新椭球作了较为详细地研究. (2)设想将n维椭球放在其“标准位置”,证明了当Lp投影体是椭球时的一些性质和相关的不等式. (3)将径向平均体Rp的一些性质推广到混合径向平均体Rp(K,L,μ),并对混合径向平均体的单调性与变换性质进行了研究,运用极坐标变换和Fubini定理,得出了混合径向平均体与凸体体积关系的不等式. (4)证明了p-截面体的一些新性质,首次给出了混合p-截面体的定义,并将p-截面体及其相关的性质推广到混合p-截面体,通过探讨混合径向平均体Rp(K,L)与混合p-截面体Cp(K,L)的相关性,揭示了截面体、投影体、径向平均体之间的深层联系. (5)对n维空间的质点系的性质进行了探讨,特别对伪对称集与单形的关系进行了的深入研究,给出了对伪对称集的几个等价描述.
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