拓扑绝缘体、拓扑半金属是超越朗道-金斯堡理论与费米液体理论的新型量子态。在朗道-金斯堡理论中,量子态按照对称性进行分类。然而,拓扑能带论指出,两个对称性相同的态还可以有不同的拓扑。在不同拓扑相的边界上,存在着拓扑保护的表面态。不仅如此,拓扑态里的低能激发往往也不能用费米液体理论刻画。在费米液体理论中,准粒子的动力学性质仅仅由费米面上的有效质量、相互作用函数等几个参量刻画。而在拓扑态中,准粒子的动力学行为还受到贝利曲率的影响,并且这些影响会显著地改变载流子的输运性质。本文尝试从拓扑分类、准粒子的动力学行为两个方面对现有的拓扑能带理论做出一些扩展。贝利曲率可以看作是动量空间中的磁场。在拓扑态中,贝利曲率在动量空间中往往具有不平庸的分布,比如外尔半金属中的贝利曲率表现为一些磁单极子。一个有趣的问题是:如果给拓扑态加上外磁场,准粒子在动量空间磁场与外磁场的交相影响下会有怎样的行为?目前已有大量理论和实验投入到这项研究中。已经广为人知的理论包括手性反常、弱反局域化等。然而还有大量实验有待解释。为了揭示这些磁输运背后的物理,我在博士期间完成了三个相关的工作。(1)我们建立了第一性计算塞曼劈裂的方法,并且把它应用在了一些常见的拓扑材料中。利用这种方法,我们可以获知塞曼劈裂对贝利曲率分布的影响,这对完整地理解输运实验有重要意义。(2)我们研究了狄拉克半金属在强磁场下的稳定性。我们的计算表明,在强磁场下,由于态密度的提高,狄拉克点将变得不稳定。根据能带情况的不同,它将破缺到电荷密度波相或者向列相,并且在狄拉克点打开能隙。(3)我们预言了一种手性磁效应引入的反常电子-声子耦合。这种耦合导致的电子-声子共振将直接反应在光反射谱上。如能探测到,这种效应将是比输运实验更强的手性磁效应的证据。如果说准粒子行为属于“一阶”的研究,那么基态分类则属于“零阶”的研究。自从拓扑绝缘体这个领域诞生以来,不同对称性下的拓扑分类便是其核心问题之一。由晶体对称性保护的拓扑绝缘体一般称为拓扑晶体绝缘体。由于晶体对称性的繁多,拓扑晶体绝缘体的分类至今还没有完成。在博士期间,我完成了一个这方面的工作。我们研究了一种四度旋转对称性保护的拓扑晶体绝缘体。这种拓扑态本身是三维的,而它却有一维的拓扑表面态。这扩展了人们对体态-边界对应关系的理解。这种态也可以推广到二度、六度旋转对称性。通过研究这些这种晶体绝缘体的能带表示,我们还给出了判断这种拓扑态的对称性判据。这使得在真实的计算中,只要确定一些高对称点上的对称性本征值就能通过我们的映射查询相应的拓扑不变量。