【摘 要】
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有限群为群论中非常重要的部分，其结构与性质广泛应用于许多相关学科.但由于这类研究的抽象性，在解决问题时往往需要先对某些特殊的小阶群进行研究.而小阶群由于结构相对简单，易
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有限群为群论中非常重要的部分，其结构与性质广泛应用于许多相关学科.但由于这类研究的抽象性，在解决问题时往往需要先对某些特殊的小阶群进行研究.而小阶群由于结构相对简单，易于用相对浅显和直观的性质来刻画.本文用图和数量分别对几类小阶群进行了刻画. 本文首先利用状态空间图刻画群：设G为有限群，图TG,α的顶点集为群G;对点集中的元素x,y,可以确定一条由x指向y的一条边当α(x)=y.此时我们就称图гg,α,为群G关于自同态α的状态空间图.利用状态空间图进行讨论，本文得到的主要结论如下： 此处公式省略 定理3.1若ΓG,f≌ΓA5,α则G≌A5定理3.2若ΓG,f≌ΓS5,α则G≌S5.定理4.1由一个圈和p个孤立点的状态空间图所确定的群为D4或4阶循环群.然后,我们利用元阶和这个数量刻画群：设G为有限群,X(?)G,我们定义ψ(X)=∑x∈Xo(x),其中o(x)表示元素x的阶.m(G)为群G中元素的最高阶.利用数量ψ(X)得到的主要结论如下：定理5.2设G是有限群,则G≌S5当且仅当m(G)=6,5∈πe(G),ψ(G)=471.
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