本文主要研究非线性生物数学离散模型的持续生存性和平衡态的稳定性及其周期性等相关问题。系统地总结了作者在攻读博士学位期间所取得的研究成果。本文主要从以下几个方面进行展开:第二章,首先我们基于Lotka-volterra型,Holling-Tanner混合型和具有Beddington-DeAngelis功能性反应等几类连续型的捕食-食饵系统,分别建立并研究了相应的捕食-食饵型非线性生态数学动力离散系统的种群的持续生存性,并给出了数值模拟,直观地说明所得结论的正确性;我们还建立以生物化学计量学原理为基础的离散模型,研究系统的有界性、全局吸引性等动力学;最后,利用实际的数值模拟,生动直观地展示了更符合实际的复杂的生物动力学现象。第三章,着重对具有有限时滞的反馈控制和具有无限时滞的反馈控制生态动力离散系统以及斑块种群动力离散系统的时空性进行研究。首先,考虑一类非自治具有有限时滞和反馈控制项的N-种群离散Lotka-Volterra竞争模型。得到了该系统持久性的一些充分条件。这些结论表明:人们可以选择适当的控制项来使得种群能够生存下去,不至于灭绝。这对保护野生动物有一定的指导作用。我们还给了一些数值模拟说明了结论的可行性。接着,我们提出了一类具有无穷时滞和反馈控制的离散生态数学模型,并研究了该系统的持续生存性。最后,考虑了一类非自治具有扩散的三种群捕食-食饵离散系统。此系统中的捕食者被限制在一个斑块中而不能扩散,而食饵能够在两个斑块中活动。我们将证明在一定的条件下该系统能持续生存。进一步,如果模型中的系数是周期函数,那么,利用文[64]中研究的方法,将获得判断该系统正周期解的存在性和全局稳定性的充分条件。第四章,提出并讨论了广义的Gilpin-Ayala竞争离散系统和一类多种群竞争增长模型的周期性及持久性和正解的收敛性。首先,在Gilpin-Ayala竞争连续系统的基础上,建立了广义的Gilpin-Ayala竞争离散系统,通过不等式技巧及相关的结论,证明了系统的持续生存性和周期解的存在性。其次,利用不动点定理,我们又研究了一类多种群竞争增长离散模型的正解的收敛性等动力学行为。第五章,讨论一类基于文献[160]研究的具有时滞和基于比率的三种群食物链捕食连续系统相应的离散系统的持久性和周期解的稳定性以及具有时滞的n-种群食物链动力模型的持续生存性等问题。第六章,利用泛函微分方程理论,构造非负定Lyapunov函数获得了判断几类差分系统所有解有界的充分条件。然后把我们所得的结论应用到种群动力系统中得到了系统的所有解有界的新的条件。第七章,首先我们利用第二Lyapunov方法,讨论了几类时滞离散系统零解的渐近稳定性;然后,把结论推广到非自治神经网络动力系统中,并且得到了一些好的结论。我们的结论更适合于计算。最后,我们利用拓扑度方法研究一类非自治神经网络模型的周期解的存在性。