材料中的位错和位错环等内部缺陷对材料的机械性能，如硬度、韧度等均有重要影响。在微米量级的结构尺寸限制下，材料的机械性能与体块情形下有所不同，表现在变形、破坏的机理与模式都发生变化。传统力学分析的唯象方法已不再适用，这些问题都要求对物理奇异性，如位错，有更深入的研究与认识。　　本课题来源于压划痕试验中的韧度研究。首先基于Somigliana位错环的四种操作方式之间的对称性及数学物理方程的线性特征，确立矢量加法的合理性，并进一步给出用标准Somigliana位错环构造非标准Somigliana位错环的可行性。其次，针对压痕试验中的锥形裂纹构型，用位错环复合构造的方法，把锥裂纹面上的一条变形线用四个标准Somigliana位错环叠加表征，这大大简化了断裂问题的处理方法。在此基础之上，在本征变形的意义上，用本征应变核塞积模拟裂纹面相对运动，获得了断裂力学解。仔细研究考察了几种已有的经验断裂标度律的不足，界定了断裂标度律的使用范围。　　本课题的主要内容为：第一，根据四种Somigliana位错环的操作方式的等价关系，结合物理奇异性问题的线性特征与表征奇异性强度的Burgers矢量的可叠加性，给出非标准Somigliana位错环可由操作标准Somigliana位错环获得的结论；第二，使用四个Somigliana位错环构造一个非标准Somigliana位错环的方式获得了非标准Somigliana位错环沿锥面的应力分布形式，这使得准确处理压痕断裂中的锥形裂纹问题成为可行；第三，用本征应变核塞积模拟锥形裂纹在接触应力条件下的开裂行为，给出断裂力学模型。在准确求解的基础上考察界定几种试验中常用断裂标度律的有效程度与适用范围。　　本课题的结论一方面基于四类不同操作方式下的物理奇异性的同一性，使得构造非标准Somigliana位错环成为可行，发展了形成物理奇异性的操作方式；另一方面，通过研究物理奇异性理论与断裂力学方法的等价性，为处理轴对称破坏构型问题提供了可供广泛使用的Green函数。最后，基于所得到的位错的基本解，处理了压划痕断裂试验中常见的宏观锥形裂纹，基于大量的数值模拟，研究了几类试验标度律，稳定的数值结果表明以往用于压痕试验的经验标度律使用范围与断裂参数在测量材料性能方面有很强的限制条件，对试验条件要求很高。