Volterra积分方程和积分微分方程在描述生物、物理、系统控制等领域中的诸多现象时起着重要的作用.由于解析求解的困难性,它们的数值分析研究受到了越来越多的关注.数值方法的稳定性是该领域研究的重要问题之一.但现有的稳定性分析大多基于基本测试方程;针对卷积测试方程所获结果相对较少.本文主要研究求解Volterra积分方程和积分微分方程的多步Runge-Kutta方法.我们将对一般形式的方法推导高级阶情形的阶条件、收敛性、以及方法关于基本和卷积测试方程的稳定性条件,基于这些条件构造稳定性好的数值方法,特别是搜寻对实系数卷积测试方程无条件稳定（V0稳定）的方法.此外,本文还将分析前人构造的全离散配置方法的稳定性.论文由以下几部分组成:第1章介绍Volterra积分方程和Volterra积分微分方程的发展历史、以及本文所考虑的两类方程的数值方法研究现状,并给出本文的研究动机和工作概要.第2章研究求解Volterra积分方程的多步Runge-Kutta方法.首先,在要求方法的阶和级阶相等的前提下,我们针对一般的r步m级方法推导了阶条件,给出收敛性定理,并获得关于两类测试方程的稳定性条件.然后,详细研究了 1级和2级方法.对1级2阶方法获得其A稳定和V0稳定的充要条件,对2级3阶方法通过搜索找到同时A稳定和V0稳定的方法.与文献中已有的V0稳定的同阶方法相比,这些新的2阶和3阶方法的隐式级数更少,因此其计算量更小.第3章主要关注Volterra积分微分方程Runge-Kutta方法的稳定性.对基本测试方程和卷积测试方程,我们分别获得数值解所满足的递推关系,以及相应的稳定性条件.针对积分微分方程数值方法引入V0稳定性概念（与积分方程情形的V0稳定性名称相同,但含义不同）,并给出V0稳定的方法例子.随后,详细分析1级和2级全隐式离散配置方法的稳定性,获得1级方法A0稳定的充要条件,发现2级方法中仅有Lobatto型配置方法是A0稳定的,且所有1级和2级配置方法都不是V0稳定的.第4章研究Volterra积分微分方程多步Runge-Kutta方法.首先,我们针对p≤4的情形,推导了方法达到p阶且级阶为q=p-1的阶条件,并给出收敛性分析.然后研究了多步Runge-Kutta方法关于两类测试方程的稳定性.基于阶条件和稳定性条件,我们首次构造了 2阶和3阶V0稳定的方法.此外,还构造了 2级4阶A0稳定的方法.与4阶且隐式级数相同的超隐式配置方法相比,该方法具有更好的稳定性.第5章对Volterra积分微分方程引入BL型两步Runge-Kutta方法.与前一章多步方法的区别是,在计算当前区间数值解时,该方法不仅利用前面两个节点上的数值解信息,还同时利用了前一个区间内部级上的级值信息.因此,该方法不属于前一章方法的特例.与前一章的两步方法相比,该方法可达到更高的级阶和阶.此类方法求解常微分方程时已得到广泛研究,本文将其拓展到求解Volterra积分微分方程.我们推导了相应的阶条件、收敛性和稳定性条件,构造了 1级4阶和2级6阶方法,并画出它们关于两类测试方程的绝对稳定区域.第6章,我们对全文进行总结并展望了今后的工作.