本文主要针对谱方法基于特征投影分解(Perper Orthogonal Decomposition,简记为POD)降阶外推算法的几个问题进行研究。众所周知,偏微分方程数值解法主要包括有限差分法、有限元法、有限体积元法以及谱方法,其中谱方法相对于其他数值解法有着更高的计算精度,因此受到众多研究者们的关注。虽然利用传统的经典谱方法求解一些偏微分方程在理论上是可行的,但对于大型的工程问题,计算过程往往包含数以万计的自由度,不仅影响了计算的精度,而且还会影响计算的效率。因此,如何将经典谱方法进行改进,建立一种既能保证计算精度,又能减少计算未知量和提高计算效率的谱方法是一个很重要的课题。特征投影分解法(POD)是一种既能保证计算精度,又能在数值计算过程中极大地减少未知量的有效的数值方法。该方法已经被很多学者成功运用到了对有限差分法、有限元法以及有限体积元法等偏微分方程数值解法的降阶计算中。本文将就如何利用POD方法对传统经典谱方法做降阶处理,从而得到效率更高,计算更精确的基于POD降阶外推谱方法展开研究。主要内容包括:第一,首先运用经典中心差分Galerkin谱方法对二维双曲型偏微分方程进行数值求解,构造中心差分Galerkin谱方法迭代格式,给出迭代格式解的误差分析和稳定性分析,并做具体的实验验证。然后构造合理的POD基,建立求解该方程的基于POD算法的降阶外推中心差分Galerkin谱方法的迭代格式,分析其收敛性,给出具体的实现步骤,并完成对应的数值仿真。结合两种方法的计算步骤和数值实验,分析比较方法的有效性、实用性和优越性。第二,运用经典配置点谱方法和基于POD算法的降阶外推配置点谱方法分别求解二维Sobolev方程。先运用格林公式将该方程改写为等价的变分形式,并证明该变分形式解的存在唯一性。再利用Legendre-Gauss-Lobatto型配置点在空间方向上对该变分形式进行离散,建立求解二维Sobolev方程的经典配置点谱方法迭代格式,分析迭代格式解的存在唯一性、稳定性以及收敛性。然后同样运用经典配置点谱方法迭代格式求出的很小时间段的数值解构造POD基,建立基于POD算法的降阶外推配置点谱方法迭代格式来求解二维Sobolev方程,并分析该迭代格式解的存在唯一性,收敛性和稳定性。最后,通过数值算例说明理论分析的正确性,阐述两种谱方法对于求解二维Sobolev方程的有效性和降阶谱方法的优越性。第三,运用Crank-Nicolson配置点谱方法和基于POD算法的降阶外推Crank-Nicolson配置点谱方法分别求解二维粘性波方程。首先建立求解二维粘性波方程的经典Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式,分析格式解的存在唯一性、稳定性以及收敛性。接着运用POD算法对经典谱方法迭代格式的解系数向量进行降阶,建立既与经典Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式有相同基函数又满足经典谱格式高精度优点的降阶外推Crank-Nicolson配置点谱方法迭代格式。根据矩阵分析,讨论该降阶迭代格式解的存在唯一性、收敛性和稳定性。最后,通过具体的数值实验,验证理论分析的正确性,并进一步说明降阶外推Crank-Nicolson配置点谱方法对于求解二维粘性波方程的有效性和可行性。第四,运用投影配置点谱方法求解二维非定常Stokes方程。在时间方向上运用压力修正投影法对该方程进行离散,在空间方向上运用配置点谱方法对该方程的解进行逼近,建立求解二维非定常Stokes方程的投影配置点谱方法迭代格式,分析该迭代格式解的存在唯一性、稳定性以及收敛性。并利用具体的数值实验说明运用投影配置点谱方法求解二维非定常Stokes方程的可行性。