生物数学是一门介于生物学和数学之间的边缘学科．这门学科以数学方法研究和解决生物学问题，并对与生物学有关的数学方法进行理论研究．种群动力学和传染病动力学是生物数学的两个重要分支，本文主要研究了两类种群动力学模型和一类传染病动力学模型的动力学行为，对它们的研究在生物数学上具有重要的理论和实际意义． 分支现象发生在依赖于参数的系统，当系统参数在某些特定值附近变化时，系统的解的某些结构属性发生了变化，这种变化称为分支现象，这些参数值称为分支值．与系统的平衡状态及周期解相关的分支称为Hopf分支．首先，本文第二章研究了具有离散和分布时滞的捕食-食饵模型．模型正平衡点的特征方程是特殊的三阶指数多项式方程，把离散时滞T看作参数，理论分析表明，在一定条件下，小时滞并不影响正平衡点的渐近稳定性，而当时滞丁超过某临界值时正平衡点的稳定性发生变化，即从稳定到不稳定，在这个过程中经历Hopf分支，从正平衡点分支出一族周期解．同时，利用中心流形定理和规范型理论，研究了分支周期解的性质，诸如分支方向、分支周期解的稳定性．进一步，利用数值模拟验证了得到的理论结果． 其次，第三章研究了具有Beddington-DeAngelis功能反应函数的阶段结构捕食-食饵模型．在一定条件下该模型有唯一的正平衡点，通过对正平衡点处特征方程根的分布的研究，得到了正平衡点局部渐近稳定的充分条件，并且在一定条件下，当时滞γ超过某些临界值时正平衡点经历Hopf分支，从正平衡点分支出一族周期解．同时，运用迭代的方法和比较原理，得到了正平衡点全局稳定的充分条件．进一步，利用数值模拟验证了得到的理论结果． 最后，第四章研究了具有非单调传染率的传染病模型的动力学行为．通过分析，导出了模型的基本再生数R0，当R0=1时，利用Lyapunov-Lasalle不变集原理，证明无病平衡点是全局吸引的．当R0<1时，通过构造Lyapunov泛函，证明无病平衡点是全局渐近稳定的，在此条件下，当γ>γ*时，时滞γ的变化不影响无病平衡点的全局渐近稳定性．当R0>1时，通过构造Lyapunov泛函，证明地方病平衡点是局部渐近稳定的，并利用持久性定理，证明地方病平衡点是持久的，也就是说疾病始终存在，在此条件下，当0≤γ<γ*时，时滞T的变化不影响地方病平衡点的持久性．进一步，利用数值模拟验证了得到的理论结果．