【摘 要】
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本文我们主要研究三个方面的问题:第一个问题是利用扩展Lax对的方法如何来构建新的光谱矩阵的可积耦合系统,并使其产生有意义的非线性复合部分;第二个问题是当获得了新的可积
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本文我们主要研究三个方面的问题:第一个问题是利用扩展Lax对的方法如何来构建新的光谱矩阵的可积耦合系统,并使其产生有意义的非线性复合部分;第二个问题是当获得了新的可积耦合系统后,如何利用变分迹恒等式来求得相应的哈密尔顿结构;第三个问题是求解约化出来的可积耦合孤子方程.在第二章中,我们对连续的WKI、变系数AKNS孤子方程族进行了研究.利用扩展Lax的方法,我们分别获得了耦合的WKI孤子方程族与含有变系数的耦合AKNS孤子方程族.我们首先考虑了WKI孤子方程族,通过构建特殊的光谱矩阵和来产生非线性复合部分,从而获得了比已有形式更好的新的扩展WKI可积耦合孤子方程族.然后我们考虑了常系数AKNS孤子方程族和变系数AKNS孤子方程族.通过扩展Lax对的方法,我们分别获得了它们的可积耦合系统.从这种可积耦合系统中约化出来的并含有特殊变系数的可积耦合方程给予了AKNS孤子方程族更深远的意义.最后我们利用变分迹恒等式获得了WKI孤子方程族与变系数AKNS孤子方程族的相应哈密尔顿结构.在第三章中,我们对Toda晶格孤子方程族与新的离散孤子方程族的的可积耦合系统进行了构造,并通过达布变换的方法求得了相应的可积耦合方程的孤子解.我们首先考虑了Toda晶格孤子方程族,利用Lax对U,V∈sl(8),我们获得了一个新的离散超可积耦合系统.然后通过变分迹恒等式,我们求得了这个可积耦合孤子方程族的哈密尔顿结构.最后我们提出了利用达布变换的方法来求解一些离散的可积耦合方程.针对于两组新的离散Lax对及其相应的离散可积耦合孤子方程,我们构建了两种不同的达布变换应用到这两组孤子方程中,最终获得了这两组离散可积耦合方程的孤子解.
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