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本文主要讨论图的几类拓扑指数的计算及极值问题.全文由六章组成.第一章,我们对图的拓扑指数的研究历史背景进行了综述.第二章,我们介绍了本文所需要的拓扑指数的若干基础知识.第三章,我们讨论了基于Schultz指数与修正Schultz指数的极值图.本章由五部分组成.第一节,我们引入五种移接变换,讨论了变换后图的SchultZ指数与修正Schultz指数的变化关系.第二节,我们确定了具有最大、最小,第二大、第二小Schultz指数与修正Schultz指数的单圈图.得到如下四个定理：定理1设G是任意的行阶单圈图,则S(G)≥3n2-3n-6, S*(G)≥2n2-n-9,等号成立当且仅当G≌U(n-3,0,…,0).定理2设G是任意的n阶单圈图,且G≠u(n-3,0…,0)则S(G)≥3n2+n-22, S*(G)≥2n2+5n-22,等号成立当且仅当G(?)U(n-4,1,0,…,0).定理3设G是任意的n阶单圈图,则S(G)≤2/3n3-20/3n+14, S*(G)≤2/3n3-29/3n+23等号成立当且仅当G≌L(n,3).定理4设G是任意的n阶单圈图,且G≠L(n,3),则S(G))≤2/3n3-32/3n+24,S*(G)≤2/3n3-41/3n+31,等号成立当且仅当G(?)L(n,3,n-5).第三节,我们确定了具有最小、第二小、第三小Schultz指数与修正Schultz指数的双圈图.得到如下三个定理：定理5设G是任意的n阶双圈图,则S(G)≥3n2+n-18, S*(G)≥2n2+7n-19,等号成立当且仅当G≌θn1(3,3).定理6设G是任意的n阶双圈图,且G≌θn1(3,3),则S(G)≥3n2+n-16,S*(G)≥2n2+13n-13,等号成立当且仅当G≌Sn(3,3).定理7设G是任意的n阶双圈图,且G≠θn1(3,3),G≠Sn(3,3),则S(G)≥3n2+5n-42, S*(G)≥2n2+11n-39,等号成立当且仅当G≌G8.第四节,我们确定了具有最小、第二小Schultz指数与修正Schultz指数的三圈图.得到如下两个定理：定理8设G是任意的n阶三圈图,则(1)S(G)≥3n2+5n-32,等号成立当且仅当G≌2,2,2,2,2,2n-4或G≌I3,3,3,2n-5；(2)S*(G)≥2n2+13n-30,等号成立当且仅当G≌R2,2,2,2,2,2,n-4.定理9设G是任意的n阶三圈图,且G≌R2,2,2,2,2,2,n-4则(1)S(G)≥3n2+5n-28,等号成立当且仅当G≌H2,3,3,3n-6；(2)S*(G)≥2n2+13n-27,等号成立当且仅当G≌3,3,3,2n-5.第五节,我们确定了具有最小、第二小Schultz旨数与修正Schultz指数的仙人掌图.得到如下两个定理：定理10设G∈C(n,r)(1≤r≤|n-1/2|),则S(G)≥4rn-10r+3n2-7n+4, S*(G)≥4r2+6rn-16n+2n2-5n+3,等号成立当且仅当G≌G0(n,r).定理11设G∈C(n,r),且G≠G0(n,r),则S(G)≥r(4n-8)+3n2-3n-14, S*(G)≥4r2+6r(n-2)+2n2-n-17,等号成立当且仅当G(?)G0(n,r).第四章,我们研究了多重桥图的Merrifield-Simmons指数.得到如下两个定理：定理12设θ(a1,a2,…,ak)∈Θnk,a1≥1,则i(θ(a1,a2,…,ak))≤2k-1F(n+1-k)+F(n+2-k)等式成立当且仅当θ(a1,a2,…,ak)(?)θ(1,1,…1,n-k-1).定理13设θ(a1,a2,…ak)∈Θnk,k≥5,则?(θ(a1,a2,…,ak))≥3k-2F(n-2k+4)+2k-1F(n-2k-3),等式成立当且仅当θ(a1,a2,…,ak)(?)θ(0,2,2,…,2,n-2k+2).第五章,我们计算了由C4C8覆盖的纳米管的Schultz指数以及纳米管TUC4[p,q],TUVC6[2p,q], TUHC66[2p,q],TUC4C8(s)[p,q], TUC4C8(R)[p,q]的geometric-arithmetic指数.第六章,我们总结了研究结果,并给出了进一步的研究思路.