数学物理反问题是现代工程技术中广泛存在的一类问题,研究这类问题的科学计算方法具有广泛的应用背景。薄体结构、涂层结构由于其具有隔热、防腐、绝缘等优良特性而在现实生活中越来来越得到广泛的的应用。因此研究它们的有效数值解法无论从理论还是应用价值上来说都具有重要的意义。然而,对薄体问题来说,因其结构的特殊性,数值求解是一个十分棘手的问题。有限元法(FEM)、有限差分法(FDM)、边界元法(BEM)是求解反问题以及薄体问题的最常用的方法。但是,FEM和FDM属域计算方法,需要剖分整个计算区域,对于复杂几何结构来说,完成域上的剖分并非易事。BEM涉及奇异积分和几乎奇异积分的处理,计算繁琐且耗时。基本解法(MFS)是一种简单、高精度的无网格方法,无需划分单元,无需计算积分,同时又不涉及奇异性的处理问题,因此是具有潜在发展优势的方法。然而,基本解法的有效性有时很大程度上取决于源点位置的分布,特别是虚拟边界与真实边界之间的距离选择。距离太小,无法避免源点与场点相遇时的奇异性,距离太大,会导致线性系统具有很高的条件数。本文对此进行了深入的研究。将正则化算法引入基本解法中,发展了正则化基本解法。大量的数值算例表明,正则化基本解法能非常有效地处理反问题和薄体问题中遇到的不适定系统。本文将所提交的正则化基本解法进行了大量的应用。首先,给出了二维位势反问题以及二维各向异性位势边界条件识别反问题的正则化基本解法。通过截断奇异值分解(TSVD)和Tikhonov正则化方法求解基本解法中的具有很大条件数的线性系统,利用L曲线法和GCV法确定其正则参数,获得了很好的效果。其次,把正则化基本解法应用到位势薄体、位势各向异性薄体和涂层结构问题的研究。一般来说,薄体结构的厚度约在微米甚至纳米级,加之部分边界条件未知,因此薄体反问题的数值分析一直是工程中的难点。就作者知识水平而言,目前计算科学领域对此类问题还涉猎极少。本文对此类问题进行了研究,给出了计算狭长比更小,即更细薄的薄体、涂层结构问题及其反问题的数值解法。数值算例表明,本文算法简单、稳定而且精确度高。总之,本文发展了基本解法,不仅拓展了基本解法的应用范围,同时也为各种数学物理反演问题包括薄体、涂层结构反问题的求解提供了一条新的途径。