在小波理论的研究及应用方面,小波基的构造是一个重要的研究方向.在一维情形,无论是理论还是应用都得到深入的研究.高维情形的研究也取得进展.该文主要的研究成果是把一维的某些结论推广到高维,分为以下四个方面:(1)使用二元拉格朗日插值法构造二元尺度函数和小波函数,使其具有紧支性、对称性以及函数展开式的系数易于计算等优点.唯一的缺陷是缺乏正交性.该插值方法在构造一维小波函数时,取得良好的效果.该文把一维的相应结论推广到二维,给出了二元插值尺度函数、构造了插值小波函数、研究了插值误差、逼近误差、函数展开式系数的计算等.二元插值小波所涉及的问题基本上都得到解决.(2)在研究多变量问题时,为了使时频分析具有最大的灵活性,要求每个时间变量都有它自己的尺度参数,鉴于此,该文从尺度函数构成正交基或Riesz基出发,把一维多函数小波推广到二维多频率多函数小波,解决了构造正交或双正交多频率多函数小波所需要的理论依据.(3)受到非调和Fourier级数的启发,在一维情形研究了当正交小波函数的平移因子出现扰动时,该正交小波函数构成Riesz基的条件.作为应用,用该非调和小波函数逼近一个时频局部化的函数,收到较好的效果.(4)把小波函数用于微分方程的求解中.首先利用插值小波求解常微分方程,其次,满足边界条件的小波尺度函数,结合Galerkin方法求解结构力学中的微分方程;最后,使用M-尺度函数求解梁结构中的微分方程.数值计算结果也表明了三种算法的有效性.