声波与电磁波被广泛应川于医学成像、地球物理勘探、非损伤性检测、雷达等领域.给定时谐入射波,正散射问题就是要研究由散射体产生的散射波的性态,即满足一定边值条件的Hclmholtz方程或Maxwell方程解的适定性.反散射问题往往是根据散射场的远场信息或其他测量数据来反演散射体的位置、形状以及物理属性等.然而散射体往往具有复杂的结构,本文主要研究含裂缝的复杂散射体时谐声波的正散射与反散射问题,以及多层背景介质的时谐电磁波正散射问题.第一章主要介绍散射理论研究的基本概况,散射理论发展中的基本问题及其结论.其中,第一节简单介绍散射理论研究背景以及意义.第二节简单介绍反问题.第三节介绍正散射问题研究状况,包括描述声波与电磁波的数学模型；正散射问题的求解方法,唯一性的证明及远场算子的性质；以及反散射问题的研究状况,主要介绍问题的适定性,包括不适定性,存在性,唯一性,稳定性及算法.第四节介绍本文的研究背景、工作及本文结构安排.第二章主要介绍散射理论中所用到的基本工具、定理和方法.其中,第一节介绍特殊函数,入射波,常见函数空问.第二节介绍位势理论.第三节介绍散射理论中常用的基本定理,包括Green表示定理,Rcllich引理,Holmgren引理,唯一延拓原理,Lax-Milgram定理以及Ricsz-Frcdholm定理.第四节介绍第一类积分方程的Tikhonov正则化方法.第五节就不可穿透障碍物的反演问题介绍线性抽样方法,并概述其重构步骤.第三章研究背景介质为分片均匀的裂缝声波正反散射问题.正散射问题的研究基于文章[126],采用边界积分方程的方法,利用Fredholm定理来证明其解的存在唯一性.反散射问题的研究基于[97],[98]和[115].首先我们利用经典解的先验估计证明介质层能被唯一确定,然后证明了一个混合交互关系并且利用它来证明裂缝的唯一确定性,最后我们通过建立合适的远场算子方程,分析算子的相关性质并用线性抽样的方法来重构裂缝.第四章研究含有裂缝的混合散射体的声波正反散射问题.含裂缝的混合散射体的声波正散射问题的研究见Yan[142]以及Yan和Yao[143],[144]我们首先考虑一个由裂缝和不可穿透的障碍物构成的混合散射体的散射问题.用变分的方法建立正散射问题的适定性,然后给出一个反散射问题的唯一性结论并且用线性抽样的方法来重构散射体.其次,该章也考虑了由裂缝和不均匀介质构成的混合散射体的正反散射问题.得到了正散射问题的可解性并且在线性抽样方法的框架下给出了同时重构裂缝和不均匀介质的定性方法.第五章研究多层的电磁波正散射问题.主要考虑不可传透的障碍物在背景为分片均匀的两层介质中的散射问题,这类散射问题在实际应用中广泛存在,其相关物理背景和实际应用见[148][149].我们采用边界积分方程方法来讨论该问题.首先应用位势理论：根据向量位势的性质将问题转化为边界积分系统,然后利用Garding不等式和Fredholm定理来证明解的存在唯一性。