本文主要运用Banach空间上的不动点定理,即锥拉伸与锥压缩不动点定理,Leray-Schauder不动点定理,Schauder不动点定理以及两个新的锥上不动点定理,对两点和多点非线性微分方程边值问题正解的存在性及多解性进行了研究.根据内容和研究方法,全书共分三章;第一章绪论,介绍微分方程边值问题中的拓扑方法的发展概况,并介绍本文的研究工作.第二章研究两点和多点非线性微分方程边值问题正解的存在性.本章的结果推广和改进了已有的工作.第一节,运用锥拉伸与锥压缩不动点定理研究二阶三点边值问题正解的存在性.第二节,运用不动点定理研究四阶两点边值问题正解的存在性.第三节,研究了关于一类含p-Laplacian算子四阶多点边值问题正解的存在性.对微分算子[φ_p(u″)]″是非线性的,因无法应用费雷德霍姆择一定理和最大值原理,我们建立了一种上下解方法.利用格林函数的性质和Schauder不动点定理对f(t,u)关于u是递减的情形,在完全不同于文[43-54]的条件下建立了一种新的解存在准则.第三章研究几类两点非线性微分方程边值问题正解的多解性.第一节,通过给出相应的算子,并讨论算子的性质,再运用锥拉伸与锥压缩不动点定理得到了正解的存在性与多解性.第二节,先证明一个新的锥上不动点定理,再利用此定理及凹函数的性质来研究边值问题,得到了三个正解的存在性.第三节,借助于一个新的多重不动点定理来研究3阶算子的边值问题的三个正解的存在性.已有的工作对三阶的研究不多,且非线性项依赖于未知函数的一阶导数时的结果就更为少见,本文就弥补了这一不足.