图论和拟阵理论在二十世纪经历了空前的发展.图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题.在图论的历史中,还有一个最著名的问题-四色问题.四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一.四色猜想的提出来自英国.1852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象：”看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色.”1872年,英国当时最著名的数学家Cayley正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色猜想成了世界数学界关注的问题.世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战.1878-1880年两年间,著名律师兼数学家Kapel和Taylor两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理.但后来数学家Heawood以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的.不久, Taylor的证明也被人们否定了.于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目,其实是一个可与费马猜想相媲美的难题.二十世纪三十年代,Whitney在他的论文中,作为对矩阵和向量的独立性的抽象概括,首次提出了拟阵的概念.同时,拟阵也抽象了很多图的性质.拟阵理论为组合优化问题和设计多项式算法提供了强有力的工具.图的支撑树及拟阵的基都是组合理论的基本研究对象.一个连通图的树图能够反映该图的不同支撑树之间的变换关系.因此,研究一个图的树图有助于我们更好地了解该图的性质.同样的一个拟阵的基图能够反映该拟阵的不同基之间的变换关系.因此,研究一个拟阵的基图有助于我们更好地了解该拟阵的性质.近些年来,树图和拟阵的基图被推广得到了一些新的图类为了研究拟阵中圈的性质,P.Li和G.Liu提出了拟阵圈图的概念,并且研究了拟阵圈图的连通度,圈图中的路和圈的性质.为了进一步研究拟阵中基的性质,Y.Zhang和G.Liu提出了拟阵基的交图的概念.设G是一个图,图G的点集和边集分别记为V(G)和E(G).包含G的每个点的路称为G的一条哈密尔顿路；同样的,包含G的每个点的圈称为G的一个哈密尔顿圈.如果一个图存在一个哈密尔顿圈,则称之为哈密尔顿的.如果对于一个图G的任意两个顶点来说,G都有一条哈密尔顿路连接他们,则称G是哈密尔顿连通的.如果对一个图G的任意一条边来说,G都有一个含这条边的哈密尔顿圈,则称G是边哈密尔顿的,或者称G是正哈密尔顿的,写作G∈H+.如果对一个图G的任意一条边来说,G都有一个不包含这条边的哈密尔顿圈,则称G是负哈密尔顿的,写作G∈H-.如果G既是正哈密尔顿的,又是负哈密尔顿的,我们称G是一致哈密尔顿的.一个拟阵M就是对于一个有限集E,令I为集合E中非空子集族,它满足如下的条件：(I1)(?)∈I(12)若I2∈I且I1(?)I2,则I1∈I;(13)若I1,I2∈I并且|I1|<|I2|,则存在e∈I2\I1,使得I1∪{e}∈I.那么我们称M=(E,I)为定义在有限集E上的拟阵.当I∈Z(M),我们称I为M的一个独立集.对于不在Z中E的子集,我们称之为相关集.极小的相关集称为拟阵的圈,我们可以用拟阵的圈集合去定义拟阵.令E为一个含有有限个元素的集合.令C为集合E中非空子集族,它满足如下的公理：(C1)(?)C;(C2)若C1,C2∈C且C1∈C2,则C1=C2；(C3)若C1≠C2,C1,C2∈C并且存在e∈C1∩C2,则恒有C3∈C满足C3∈(C1∪C2)-e.拟阵M的一个极大独立集被称为拟阵M的基,表示为B(M).拟阵M中一个基B(M)的元素个数定义为拟阵M的秩.令B(M)表示拟阵M中基的集合.同样我们也可以用拟阵的基来定义拟阵：(B1)所有的基的基数相同；(B2)如果B1,B2∈B且x∈B1,则存在y∈B2,使得(B1\{x})∪{y}∈B.拟阵M=(E,B)的基图是这样的一个图G,其中V(G)=B,E(G)={BB’|B,B’∈B,|B\B’|=1},注意在这里图G的顶点和M的基用同样的符号表示.现在我们给出拟阵基的交图的概念.定义拟阵M的基的交图G=G(M)的顶点集V(G)=B,边集E(G)={BB’|B,B’∈B,|B∩B’|≠0}这里B和B’既代表G的顶点,也代表M的基.下面我们给出整数流,也就是处处非零的k-流的定义：给定一个图G,设D为图G的一个方向,设函数f:E(G)→Z,使得-k<f(e)<k,对于任意的e∈E(G)都成立.序偶(D,f)称为图G的k-流,如果对于任意的u∈V(G),它满足平衡条件：其中,E+(v)和E-(v)分别表示方向在点上出边的集合和入边的集合.一个k-流(D,f)是处处非零的(或简称为k-NZF)如果f(e)≠0,对于任意的e∈E(G)都成立.设图G是无向图,A是一个非平凡的阿贝尔加群(单位元为0),A*是A中非零元素所构成的集合.我们定义F(G,A)={f|f:E(G)→4)和F*(G,A)={f|f:E(G)→A*).对于每一个f∈F(G,A),f的边界函数(?)f(v):V(G)→A的定义如下：其中“∑”指的是阿贝尔群里的加法.我们定义一个图G的处处非零A-流(简称A-NZF)指的是一个函数f∈F*(G,A)使得(?)f=0成立.如果一个图G有一个处处非零的k-流当且仅当图G有一个处处非零的Zk-流.对于任意的b∈Z(G,A),如果有一个函数f∈F*(G,A)使得af=b成立,那么我们称f是一个处处非零(A,b)-流(简称(A,b)-NZF).Jaeger等人推广了整数流的概念,提出了A-连通的概念,一个无向图G称为A-连通的,如果G的每一个定向G’对于每一个函数b∈Z(G’,A),都存在一个(A,b)一NZF,记作G∈(A).同样的,G有A-NZF当G有定向G’使得G’有A-NZF.A-连通性的概念是Jaeger等人在[31]中提出的,A-NZF与A-连通性有密切关联.本文主要研究的是拟阵基的交图的一致哈密尔顿性,边不交的哈密尔顿圈个数,图中顶点不交的圈以及拟阵基图的整数流性质,全文共分为四章.第一章给出了一个相对完整的简介.首先介绍一些图论中的基本术语和定义,然后给出了关于树图,拟阵基图以及森林图的一个简短但相对完整的综述,并介绍了拟阵基的交图和整数流的研究现状,最后,给出了本文的主要结论.第二章我们研究了拟阵基的交图中的哈密尔顿圈.首先我们给出了一个对于拟阵基的交图的简短的介绍.然后我们证明了拟阵基的交图的一致哈密尔顿性,接着我们还继续证明了简单拟阵的拟阵基的交图有两条边不交的哈密尔顿圈.第三章主要讨论拟阵基的交图中顶点不交的圈的性质.同样的,首先,给出了对于拟阵基的交图的一个简短的介绍.然后我们讨论了拟阵基的交图中的顶点不交的圈的一些性质,并给出证明.第四章主要讨论拟阵基图的整数流问题.在这一章里,我们首先给出了对于整数流和群连通度的一个简短的介绍以及一些已知的结论.之后,我们讨论了拟阵基图的群连通性以及拟阵基图上的处处非零的3-流,我们证明了简单拟阵的拟阵基图上有处处非零的3-流.