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本文主要研究分圆多项式的系数分布问题与双二次数域的代数整数环上的平方和问题.具体内容如下：1.设n为正整数,分圆多项式高度.如果A(n)=1,那么称垂n(x)是平坦的.若n为三个不同奇素数的乘积,则称中。(x)是三阶分圆多项式.本文的主要结果如下：(1.1)给出了三阶分圆多项式фpqr(x)的系数a(pqr,r)的计算公式,其中p<q<r为奇素数.(1.2)设奇素数p<q<r满足其中名为正整数.本文完全刻画了2=3,4,5时,三阶分圆多项式Фpqr(x)的平坦性.(1.3)设奇素数p<q<r满足)和r≡±3(mod pq),本文证明了A(pqr)=3.这给出了无穷多的素数p,使得фpqr(x)的高度为3.(1.4)设奇素数p<q<r满足本文构造了具体的k,使得a(pqr,k)=-2.(1.5)对于整系数多项式f(x)=c1xe1+…+ctxet,其中e1<…<et,2.设K为一个代数数域,OK为其代数整数环.令SK表示OK中可以表示为OK中元素平方和的所有元素的集合.设s(OK)为-1表成OK中元素的平方和所需最少元素的个数,并且以g(SK)表示最小的正整数t,使得SK中的每一个元素均是OK中t个元素的平方和.对于双二次数域K=Q(-m,-n),其中m三n三3(mod 4)为两个不同的无平方因子的正整数,本文证明了如下三个结果：(2.1)SK=OK.(2.2)如果s((OK)=2,那么g((OK)=3.(2.3)当m的素因子个数比较少时,给出了g(OK)=3的一些充分条件.关于双二次数域整数环上的平方和的结果已经发表在JNumber Theory(2014)上；关于分圆多项式的(1.4)的结果已经发表在Bull. Korean Math. Soc.(2014)上；关于分圆多项式的(1.2)中z=4的部分结果已经被Bull. Korean Math.Soc.(2015)录用.