扭转问题是弹性力学中的常见问题，解决扭转问题的关键，在于求解其应力函数所满足的二阶偏微分方程。对于形状规则的截面，可以通过解析方法求出应力函数，进而根据弹性力学扭转方程求出剪应力值、抗扭刚度、单位扭转角和翘曲函数等；而对于形状复杂或者复连通区域截面的扭转，很难利用解析的方法进行分析，由于有限元方法在求解偏微分方程中具有重要的应用，故可以采用有限元方法分析复杂截面的扭转问题。传统有限元法的单元划分局限于三角形或四边形，难以满足插值函数的位移协调性要求，基于平均值插值的重心有限元方法，则采用多边形单元网格，具有单元数目少，计算精度较高的优点。本文拟采用重心有限元方法分析不同截面形状下的扭转问题。　　 本文以杆件扭转和重心有限元为主线，进行了以下方面的工作和研究：　　 一：归纳了分析扭转问题的两种主要方法：解析法和数值法。解析法又可分为位移法、共轭函数法、翘曲函数法等；数值方法主要包括有限元法、有限差分法、边界元法等。　　 二：论述了扭转问题的基本方程，为扭转算例的进行做了铺垫。　　 三：推导了多边形单元上平均值插值函数的数学表达式；编写了多边形单元上平均值插值函数计算程序。平均值插值函数可以在多边形单元上进行插值，满足插值函数的协调性要求，不含待定参数，不需要进行等参变换，与传统的Wachspress插值函数和Laplace插值函数相比，平均值插值更具优越性。多边形单元平均值插值函数的误差随单元尺寸的减小而降低，随着多边形单元尺寸的减小，重心有限元法的数值解将逐渐收敛于精确解。　　 四：本文采用重心有限元方法分别计算了椭圆截面、三角形截面、半圆槽截面、同心圆管截面的扭转应力函数，分别求出了剪应力值、抗扭刚度、单位扭转角、翘曲函数。数值算例结果表明该方法具有较好的的精度。　　 重心有限元方法的单元划分可采用多边形，突破了传统有限元方法只能采用三角形或四边形划分单元的限制，使得区域网格的划分更加随意和灵活；另外，重心有限元方法采取中心三角形数值积分方案，从而简化了计算程序的编写过程，具有较高的操作性；此外，多边形单元的采用使重心有限元法总单元个数减少，从而降低了计算成本，提高了计算效率，数值算例表明，较高的计算精度。与传统的有限元方法相比，重心有限元方法在数值模拟方面更具优越性。