随机最优控制理论主要研究求解随机最优控制问题的方法和理论,包括最优控制满足的充分、必要条件,正倒向随机微分方程解的存在唯一性,HJB方程解的正则性理论等.随机最优控制理论始于20世纪50年代末,其主要标志是前苏联数学家Pontryagin等提出的“极大值原理”,以及Bellman的“最优化原理”和Kalman的滤波理论.因实际生活中一些不可规避的随机因素,随机最优控制问题的研究和建立,就成为一个十分重要的课题.事实上,随机最优控制问题的研究对于自动控制、信号处理、航空航天技术、机械与力学工程以及金融工程等领域有着重要的推动作用.为了定量地研究系统的随机最优控制问题,首先应该建立带有随机输入或随机干扰的系统数学模型.由于实际过程中许多噪音可以由白噪声过程进行近似,因此当系统输入或干扰为其他过程时,常使其白噪声化.这样既可以应用有效的数学方法又不会在处理过程中引起显著的误差.在随机分析领域,布朗运动可以描述成高斯白噪声的积分形式,并作为刻画一系列复杂过程的基本工具,有着较为完善的理论体系和研究价值.所以在实际问题的处理上,由布朗运动驱动的系统的随机最优控制问题,为众多学者所研究,获得了较为丰富的研究成果.分数布朗运动既不是Markov过程也不是半鞅,它具有的自相似性和长期依赖性两个重要性质,是许多自然现象和社会现象的内在特性,所以分数布朗运动构成的模型是使用最广泛的模型之一.事实上,分数布朗运动的研究已经成功的应用到水文地理学,气象学,信号过程,数据流分析,金融等诸多领域.由分数布朗运动驱动的系统的随机最优控制问题也成为当下随机分析领域的研究热点.在此类问题的研究过程中,倒向随机微分方程作为极大值原理中状态方程的伴随方程,其可解性与否就成为极大值原理是否有意义的关键问题.倒向随机微分方程,在随机分析、随机控制和金融数学界已经获得了很高的国际知名度.正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标.虽然倒向随机微分方程理论研究的历史较短,但进展却很迅速.除了其理论本身所具有的有趣的数学性质之外,还发现了重要的应用前景.著名经济学家Duffie和Epstein发现可以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好.彭通过倒向随机微分方程获得了非线性Feynman-Kac公式,从而可以用来处理诸如反应扩散方程和Navier-Stokes方程等众所周知的重要非线性偏微分方程组.Ei Karoui和Quenez发现金融市场的许多重要的派生证券的理论价格可以用倒向随机微分方程解出.2013年,Han,Hu和Song在[1]中研究了由Hurst参数H∈(1/2,1)的分数布朗运动驱动的一般可控系统的随机最优控制问题,限定控制区域是凸的.他们获得了相应随机最优控制问题的极大值原理,即最优控制所满足的必要条件.同时,得到了一个由分数布朗运动及标准布朗运动共同驱动的倒向随机微分方程.为了完善随机极大值原理,我们对这样的倒向随机微分方程的解比较感兴趣.并考虑当控制区域非凸时,随机极大值原理是什么.为此,在本文中,我们将考虑下面两个问题.问题1当Hurst参数H∈(1/2,1)时,由分数布朗运动及标准布朗运动共同驱动的一般情形的倒向随机微分方程的解是否存在唯一.问题2考虑由Hurst参数H ∈(1/2,1)的分数布朗运动驱动的一般可控系统,控制区域是非凸情形的随机最优控制问题.基于以上问题的考量,我们在本文的第三章,给出由分数布朗运动及标准布朗运动共同驱动的一般情形的倒向随机微分方程解的局部存在唯一性证明.考虑如下倒向随机微分方程的解(?),其中T ∈(0,+∞)是有界待定的时间.BH=(B1H(t),…,BmH(t)),t ∈[0,T]是Hurst参数H∈(1/2,1)的m维分数布朗运动,W(l)=(W1(l),…,Wm(l)),t ∈[0,T]是定义在完备概率空间(Ω,F,P)上的F-适应的m维标准布朗运动.本文的第四章,考虑如下可控的由分数布朗运动驱动的随机控制系统:(?)对任意u(·)∈Uad([0,T]),目标泛函定义为我们的目的是找出u*(·)∈ Uad([0,T])所满足的必要条件,使得目标泛函取得最小值,也就是(?).