【摘 要】
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波动方程的数值求解是地震波正反演过程中的重要环节,而数值算法的计算精度直接关系着地震波的模拟结果和成像质量.发展高精度的波动方程数值求解方法,除了构造新的高效的数值模拟方法之外,还可以利用优化方法进一步提升现有数值模拟方法的计算精度.谱元法以其结合了伪谱法的高精度性以及有限元的网格灵活性的特点被成功应用到全球各种尺度模型的地震波传播模拟中.谱元法在计算过程中因Gauss-Lobatto-Legen
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波动方程的数值求解是地震波正反演过程中的重要环节,而数值算法的计算精度直接关系着地震波的模拟结果和成像质量.发展高精度的波动方程数值求解方法,除了构造新的高效的数值模拟方法之外,还可以利用优化方法进一步提升现有数值模拟方法的计算精度.谱元法以其结合了伪谱法的高精度性以及有限元的网格灵活性的特点被成功应用到全球各种尺度模型的地震波传播模拟中.谱元法在计算过程中因Gauss-Lobatto-Legendre数值积分无法对质量矩阵和刚度矩阵中包含的积分项精确估计而造成误差,从而使得谱元法精度有一定的损失.本文针对谱元法的该缺点,研究了通过多角度构造关于误差表达式的最小二乘函数,然后利用共轭梯度法求解目标函数得到优化积分权系数,从而达到提升谱元法数值模拟精度的优化方案,具体包含了以下四个方面.1.总结了现有波动方程数值方法的优缺点,通过对比各类数值模拟方法,选择了同时具有网格灵活性、高精度性的谱元法进行进一步优化.2.研究了 Gauss-Lobatto-Legendre（GLL）数值求解体系.研究发现GLL数值积分在近似质量矩阵与刚度矩阵中的积分项时产生误差较大,造成谱元法精度损失,其具有进一步改进的空间,本文在传统算法基础上推导出优化算法.3.构造了关于数值求积与精确积分的最小二乘目标函数,利用共轭梯度优化方法得到优化后的数值积分权系数,从而提升数值积分精度,最终提高谱元法模拟地震波传播的数值精度.4.构造了关于GLL数值求积积分权与质量矩阵对角线元素精确值的最小二乘目标函数,通过共轭梯度法求解目标函数得到优化后的积分权系数,该权系数能通过更精确的计算质量矩阵达到最终提高谱元法的计算精度目的.通过理论分析和具体数值算例测试,证实了本文提出的两种优化方案在求解波动方程时具有计算精度高、数值频散弱以及与常见空间离散结合性能好等优点.
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