【摘 要】
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大量的物理问题和工程问题等都可以用超奇异积分方程来描述,但是超奇异积分方程的解析解是不容易求解的,因此相关领域的研究者们将其目光投向了研究此类方程的数值解上.然而,
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大量的物理问题和工程问题等都可以用超奇异积分方程来描述,但是超奇异积分方程的解析解是不容易求解的,因此相关领域的研究者们将其目光投向了研究此类方程的数值解上.然而,超奇异积分方程在普遍意义和柯西主值意义下都是发散的,只有在Hadamard有限部积分的定义下才能求解,因此超奇异积分方程数值解的求解也是非常困难的.与Cauchy积分方程相比,超奇异积分方程更能准确的描述实际的物理问题和工程问题,于是探究其高精度的数值求解方法已成为学者们关注的热点,具有重要的科学意义和应用前景.本文主要讨论了超奇异积分方程的数值解及其在几类断裂力学问题中的应用.首先引入了改进的线元配置法,由于传统的线元配置法不能解决插值点上的奇异性,学者们对传统的线元配置法作了改进.根据改进的线元配置法中基函数选取的不同,本文将改进的线元配置法中的基函数构造为插值节点处连续的分段函数,然后根据Hadamard有限部积分的定义来求解超奇异积分方程,并用数值算例验证了改进的线元配置法在求解超奇异积分方程时的可行性.其次基于用同伦摄动法求解具有二阶奇异性的超奇异积分方程,本文将其推广到用同伦摄动法可求解具有更高阶奇异性的超奇异积分方程,并用数值算例验证用同伦摄动法求解超奇异积分方程时的高效性.最后讨论了各向均质弹性体中的共面裂纹问题和基于应变梯度弹性理论的功能梯度材料中的裂纹问题,这部分用同伦摄动法求解了由裂纹问题推导出的超奇异积分方程,并计算了裂纹尖端应力强度因子的值.
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