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本文主要以几何单形为研究对象，讨论了关于单形的Neuberg-Pedoe型不等式.设a，b，c与a,b，c分别表示△ABC与△ABC的三边，△与△分别表示它们的面积，则著名的Neuberg-Pedoe不等式为a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2)+c2(a2+b2-c2)≥16△△，(1)其中等号当且仅当△ABC与△ABC相似时成立.([2])彭家贵得到如下推广形式：a2(b2+c2-a2)+b2(c22+a2-b2)+c2(a2+b2-c2)≥8(λ/λ△2+λ/λ△2).(2)等号当且仅当△ABC与△ABC相似时成立，其中λ=a2+b2+c2，λ=a2+b2+c2.([9])1981年，杨路，张景中[3]率先将(1)式推广到n维欧氏空间.随后苏化明[4]，冷岗松[6]，张晗方[7]等人相继在n维欧氏空间中推广了(1)和(2).在此基础上，本文也得到了(1)式和(2)式在n维欧氏空间中的一类推广形式.
在第三章中得到如下两个结论.记∑是以{A1，…，An+1}顶点的n维单形，∑的体积记作V，k维子单形{Ai，Ai1,…，Aik}的体积记作Vi，i1,…，ik，其中1≤i，i1，i2，…，ik≤n+1且互不相同，当i=ij(1≤j≤k)时vi,i1，…，ik=0.令Mi1,…,iκ=n+1∑i=1V2i,i1,…，iκ.
定理1：对于单形∑与∑有∑1≤i1＜…＜iκ≤n+1Mi1,…,iκMi1,…iκ-(n+1-k)∑1≤i＜i1＜…＜iκ≤n+1V2i,i1，…,iκV2i,i1,…,iκ≥κ(κ+1)2(n-κ)Cκ+1n+1/κ!4(n!2/n+1)2κ/n(VV)2κ/n，(3)1≤k≤n+1，当且仅当∑，∑为正则单形时等号成立.
在单形∑中共有m=Cκ+1n+1个κ维子单形，第i个子单形的体积记作Vκ,i,1≤i，≤m.
定理2：对于单形∑与∑有m∑i=1V2κ,i(m∑j=1V2κ,j-(n+1-κ)V2κ,i)≥1/2φ(n,κ)[m∑j=1V2κ,j/m∑i=1V2κ,iV4κ/n+m∑i=1V2κ,i/m∑j=1V2κ,jV4κ/n],(4)其中φ(n，κ)=m(m-(n+1-κ))[(κ+1/κ！2)1/κ(n!2/n+1)1/n]2κ，当且仅当∑，∑为正则单形时等号成立.
在第四章我们讨论了由冷岗松[6]和张晗方[7]得到的两个不等式.
设n(n≥3)维单形∑={A0，A1，…，An}的体积为V，第i个界面∑i={A0，…，Ai，…，An}的体积为Vi，其中^Ai表示去掉顶点Ai，0≤i≤n.令F(∑,θ)=n∑i=0V2θi(n∑j=0V2θj-2V2θi)-(n2-1)[n3/n+1(n+1/n!2)1/n]2θVn-1/n4θ，(5)其中∑表示单形，θ＞0.
当θ∈(0，1/2]时冷岗松证明了F(∑，θ)≥0，当θ=1时张晗方证明了F(∑，θ)≥0.现在问题即为当θ∈(1/2，1)时，F(∑，θ)是否仍大于等于零.本文在第四章中详细讨论了这个问题，并构造了一个反例说明当θ∈(1/2，1)时F(∑，θ)≥0是不成立的.