偏微分方程在很多工程技术和自然科学领域都有着广泛的应用,比如流体力学,声学,电磁学,量子力学,物理学等等[9,13,45,62,96,115,118,129]。随着科学技术的进步,以实际问题为背景的各类偏微分方程不断被提出,同时许多求解偏微分方程的新方法也在研究过程中不断被提出。然而由于初边值条件,非线性及实际问题的复杂多变性,对于大部分偏微分方程,没有精确解或者很难用分析方法求得精确解。所以数值模拟是偏微分方程求解的重要方法。高精度的数值方法以其计算效率高,数值耗散小等优势一直得到广泛的研究和应用。另外,数值方法能否保持方程中各物理量的结构和性质是非常重要的。因此基于方程的内在性质及结构,本文对几类偏微分方程研究有效高阶数值方法和其理论分析。波方程作为描述自然界中各种波动现象的一类重要的偏微分方程,广泛应用于流体力学,声学,光学,电磁学等领域[19,42,48,76,81,107]。其中声波方程是描述波在介质中传播的重要方程,普遍存在于地球物理,石油工程,通讯,医疗等领域[34,49.73]。非线性波动方程,例如sine-Gordon方程和Klein-Gordon方程通常用于模拟基本粒子的行为,晶体中位错的传播,孤子在无碰撞等离子体中的相互作用,原子核的成核和生长现象等[40,44,103,123,126]。非线性薛定谔方程作为模拟物理系统中色散和非线性的方程,普遍出现在量子力学,等离子物理体,玻色-爱因斯坦凝聚体动力学等科学技术分支中[1,59,68,72,79,119]。关于求解各类波传播方程的数值方法已有很多研究,例如,有限元方法[8,51,61.67,74],有限差分法[18,29,37,43,48,68,69,103],谱方法[10,106,122,132,136]。然而许多方法或者时间精度较低或者不满足能量守恒。平均向量场(AVF)方法是在[98,110]中首次提出的用于时间离散的哈密顿系统的求解方法,其哈密顿系统是在空间离散后由原始偏微分方程转换来的。AVF方法可以自动保持哈密顿能量并且只需要知道向量场本身,此外,AVF方法还可以得到时间的高阶精度。因此,近年来大量的工作致力于使用AVF技术离散时间并结合不同的空间离散方法来求解各种方程。例如Korteweg de Vries(KdV)方程[26,38,76],Cahn-Hilliard方程[75],非线性薛定谔方程[4.82]。然而,已有的工作没有建立全离散格式的收敛性分析,且大部分方法时间精度较低。因此我们基于AVF方法提出时间高精度能量守恒格式来求解几种波动方程并研究全离散格式的收敛性分析。对流扩散方程是一类基本数学物理方程,它描述了质量,能量,热量等输运过程以及某些反应扩散过程,例如传热传质,油藏模拟,地下水模拟,大气污染,空气动力学,生物种群等(例如,参见[13,16,39,53,111,112,114,116,118]等)。标准的有限差分法和有限元方法求解对流占优扩散方程时会出现非物理震荡和数值弥散。该类方程具有较强的双曲性,特征线方法处理对流占优扩散方程在本质上减少非物理震荡和过多的数值弥散,而且时间步长上不需要稳定性约束。然而,大部分已有的特征方法仅具有时间一阶精度。因此我们对非线性对流扩散方程提出一种时间二阶特征有限元方法,并研究其误差理论分析。能量守恒律在各类波传播方程中起着重要作用,构造能量守恒的数值算法对于波传播的计算具有重要意义,往往能得到物理上的正确结果和数值上的稳定性。我们对几类波动方程分别提出能量守恒的高阶数值格式,对其能量守恒性质和收敛性进行严格证明。数值实验验证理论分析结果并模拟波传播的物理特性。对于对流占优的非线性对流扩散方程,我们利用方程的物理特性提出时间二阶的特征有限元方法并研究误差理论分析。数值算例证实理论结果和数值算法的高效性。本文分为六章,主要研究内容和成果如下:在第一章中,我们考虑二维的变系数声波方程。变系数的声波方程描述了波在介质中的传播且在地球科学,医学成像,地震勘探等领域有着广泛应用。紧差分(CFD)方法由于简单,高阶精度等优点已经被用于求解波动方程[20,21,41.43.88.89,93]。然而上述大多数方法不满足能量守恒。AVF方法在保持能量不变的同时还可以得到时间的高阶精度,最近已被用来求解波型偏微分方程[26,33,38,76]。然而关于AVF紧差分方法求解偏微分方程的收敛性工作是没有的。因此本章我们提出求解二维变系数声波方程的两种能量守恒时间高阶AVF紧差分方法并给出收敛性分析。我们首先推导二维变系数声波方程的无穷维哈密顿系统。然后对空间应用四阶紧差分算子得到半离散的有穷维哈密顿系统。为了得到时间高阶精度并且保持能量不变,应用AVF方法对时间进行离散,得到全离散能量守恒的时间高阶AVF(2)和AVF(4)紧差分方法。我们证明了半离散格式满足能量守恒和误差估计。证明了全离散AVF(2)和AVF(4)紧差分格式满足能量守恒,证明了其最优误差估计。数值实验验证了格式在时间和空间上的高阶精度及能量守恒。最后我们模拟了在分层介质中的声波方程,展示了声波在分层介质中的传播的物理特性。在第二章中,我们考虑变系数非线性波动方程。我们研究三种非线性波方程,即sine-Gordon方程,Klein-Gordon方程和带非线性指数项的波动方程。在许多物理应用中,方程中的各种非线性比线性项更能描述波的传播[45,115,129],另外非线性问题的数值格式理论分析会更加复杂和困难,AVF方法求解非线性偏微分方程的收敛性分析是没有的。因此研究变系数非线性波动方程更具有挑战性和重要性。我们推导变系数非线性波动方程的无穷维哈密顿系统,在空间上应用四阶紧差分算子,在时间上应用二阶和四阶AVF方法得到两种全离散格式AVF(2)-CFD和AVF(4)-CFD。我们证明全离散格式满足离散的能量守恒。由于非线性项仅满足局部的Lipschitz连续条件,因此数值格式的收敛性分析很困难。根据能量守恒性质和离散的Sobolev不等式得到了数值解在无穷范数下是有界的。对于AVF(2)-CFD格式和AVF(4)-CFD格式,根据不动点定理严格证明了它的数值解是存在的。我们给出格式详细的收敛性分析,证明了其最优误差估计。数值算例验证了理论结果并模拟了分层介质中非线性波的传播。在第三章中,我们考虑二维变系数非线性波动方程。我们研究sine-Gordon非线性波动方程和Klein-Gordon非线性波动方程的时间高阶AVF紧差分格式。一维非线性问题数值方法的理论分析方法不能平行推广到高维问题中,并且高维问题的理论分析工作更加困难。我们首先利用泛函微分理论将非线性波方程转化为无穷维哈密顿系统,然后分别采用紧差分方法进行空间离散,AVF方法进行时间离散得到时间二阶和时间四阶两种全离散格式EPAVF(2)-CFD和EPAVF(4)-CFD。我们首先证明两种格式满足离散的能量守恒。在数值格式的理论分析中,通过数值格式的保能量性质和离散Sobolev不等式导出二维非线性波方程数值解在Lp范数下的有界性。对于EPAVF(2)-CFD格式和EPAVF(4)-CFD格式,根据不动点定理证明了它的可解性。我们结合范数不等式分析了格式的收敛性,证明所提格式具有时间和空间四阶的最优误差估计。数值实验展示了数值误差在时间空间上的高精度,验证了所提格式的能量守恒性和收敛性。最后模拟了两类非线性波在分层介质中的传播。在第四章中,我们考虑空间分数阶非线性波动方程。构造能量守恒的数值算法对于非线性分数阶波动方程的计算具有重要意义,但这方面的工作很少并且已有的能量守恒格式在时间上具有低阶精度[94,95,125]。[58]应用AVF方法提出的格式在时间上只有二阶精度且没有给出数值格式的唯一可解性及收敛性分析。所以我们提出空间分数阶非线性波动方程的能量守恒时间四阶格式并给出严格的理论分析。我们基于空间分数阶非线性波动方程的无穷维的哈密顿系统,应用四阶加权和移位差分算子对空间分数阶导数进行离散,应用时间四阶AVF方法对时间进行离散得到全离散格式。我们证明格式满足离散的能量守恒及唯一可解性,分析了数值格式的收敛性,证明了其在时间和空间上都是四阶精度。最后数值算例验证了在不同非线性项和分数阶下所提格式的高阶精度和能量守恒性。在第五章中,我们考虑非线性薛定谔方程。[4,26,82]应用AVF方法求解非线性薛定谔方程,但上述工作基本没有对其格式进行收敛性分析。我们首先应用四阶紧差分算子和时间二阶AVF方法分别对空间和时间进行离散,得到全离散格式。我们证明所提格式满足离散的能量守恒定律。基于不动点定理证明了数值解是存在的。我们证明了所提格式具有时间二阶和空间四阶的收敛率,且对于时间和空间步长没有限制。最后对非线性的散焦薛定谔方程进行数值实验,展示所提格式的能量守恒及收敛性。我们给出散焦和聚焦薛定谔方程对应的暗孤子和亮孤子的运动变化,以此更好的研究散焦薛定谔问题。在第六章中,我们考虑非线性对流扩散方程。种群模型中的非线性函数是出生率,死亡率和环境因素相互作用的结果,会导致种群密度的变化[16.39,118]。研究这些问题对疾病的传播,人口的预测等有着重要作用和现实意义。标准的有限差分法和有限元方法求解对流占优问题时会出现非物理震荡和数值耗散。特征线方法能充分利用对流扩散方程的物理特性,大大减少时间上的截断误差,消除过多的数值耗散。Douglas和Russell在[46]中提出修正的特征线方法求解对流扩散问题,[7,15.54,109,113]结合有限元方法进一步应用和发展了特征线方法。然而大部分特征方法仅具有时间一阶精度。[87]提出了一种时间二阶特征有限元格式来求解具有非线性凝结项的对流方程,但是没有扩散项。因此提出并分析时间二阶特征有限元方法来求解非线性对流扩散方程是非常重要的。我们首先将时间导数项和对流项转化为全局导数项,然后用沿特征线的中心差分算子离散。扩散项应用沿特征线的二阶平均算子逼近。对于右端非线性项,采用沿特征线的二阶外推离散。利用变分理论和先验估计,我们证明所提格式在时间上具有二阶精度并且在使用大步长时能得到有效的高精度解。最后给出数值算例验证了理论结果并对单种群时空动力学模型进行模拟。