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1981年Enochs从内射包络和投射覆盖定义中抽象地给出了模的覆盖和包络的概念.事实上这就是同一时期Auslander在代数表示论中定义的右和左极小逼近的概念.与模的投射分解与内射分解类似,基于覆盖与包络构造的左、右分解,以及由此给出的同调或上同调维数把经典的同调代数推向了一个全新的领域-相对同调代数.因而模的包络、覆盖理论在环模理论、同调代数和代数表示论中都有着非常重要的作用,是目前国际上研究的热点课题之一.在此背景下,本文主要围绕FP-内射模、(m,n)-内射模、(m,n)-平坦模的包络与覆盖的存在性,以及由此导出的维数这个角度来进行研究.
对于FP-内射维数≤n的模所构成的模类(g),证明了若R是左凝聚环,则每个左R-模皆有(m,n)-内射覆盖,继而部分回答了2005年Pinzon提出的凝聚环是否是FP-内射覆盖存在的必要条件这个公开问题；并根据覆盖与包络构造左右分解与维数,去掉Mao和Ding于2007年在J.Algebra上关于左FP-内射维数定理中的纯内射条件.有别于2008年Mao和Ding定义的Gorenstein FP-内射模(Ding内射模),我们引入新的Gorenstein
FP-内射模的概念(这种定义保证FP-内射模一定是Gorenstein FP-内射的),推广了Megibben 1970年关于Notherian环与FP-内射模的重要刻画,同时揭示了它与FP-内射模、Gorenstein内射模、Ding内射模之间的关系.
对于(m,n)-内射模与(m,n)-平坦模的覆盖与包络问题,证明了若R是左(m,n)-凝聚环,则每个左R-模皆有(m,n)-内射覆盖.受强P-凝聚环的启发,引入强(m,n)-凝聚环的概念,得到强(m,n)-凝聚环上关于(m,n)-内射模与(m,n)-平坦模的性质及相应维数的新结果,改进了2008年关于P-内射与P-平坦维数的相关结果.对于特殊的强P-凝聚环-广义morphic环,利用本文中的覆盖与包络引导出一些新的函子,借助这些函子给出整体P-内射维数与P-平坦维数的新刻画.
在交换环上,给出 RM的(预)覆盖与s-1RS-1M的(预)覆盖之间的联系,推广了前人关于平坦覆盖,P-平坦、P-内射覆盖的结果.利用局部化的性质,证明了强(m,n)-凝聚环上,整体(m,n)-内射、(m,n)-平坦维数可以用单模的相应维数来计算,推广了凝聚环上的情形.